-0,000 282 005 914 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 1| = 0,000 282 005 914 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 2;
  • 2) 0,000 564 011 828 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 4;
  • 3) 0,001 128 023 656 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 312 8;
  • 4) 0,002 256 047 312 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 625 6;
  • 5) 0,004 512 094 625 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 251 2;
  • 6) 0,009 024 189 251 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 502 4;
  • 7) 0,018 048 378 502 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 004 8;
  • 8) 0,036 096 757 004 8 × 2 = 0 + 0,072 193 514 009 6;
  • 9) 0,072 193 514 009 6 × 2 = 0 + 0,144 387 028 019 2;
  • 10) 0,144 387 028 019 2 × 2 = 0 + 0,288 774 056 038 4;
  • 11) 0,288 774 056 038 4 × 2 = 0 + 0,577 548 112 076 8;
  • 12) 0,577 548 112 076 8 × 2 = 1 + 0,155 096 224 153 6;
  • 13) 0,155 096 224 153 6 × 2 = 0 + 0,310 192 448 307 2;
  • 14) 0,310 192 448 307 2 × 2 = 0 + 0,620 384 896 614 4;
  • 15) 0,620 384 896 614 4 × 2 = 1 + 0,240 769 793 228 8;
  • 16) 0,240 769 793 228 8 × 2 = 0 + 0,481 539 586 457 6;
  • 17) 0,481 539 586 457 6 × 2 = 0 + 0,963 079 172 915 2;
  • 18) 0,963 079 172 915 2 × 2 = 1 + 0,926 158 345 830 4;
  • 19) 0,926 158 345 830 4 × 2 = 1 + 0,852 316 691 660 8;
  • 20) 0,852 316 691 660 8 × 2 = 1 + 0,704 633 383 321 6;
  • 21) 0,704 633 383 321 6 × 2 = 1 + 0,409 266 766 643 2;
  • 22) 0,409 266 766 643 2 × 2 = 0 + 0,818 533 533 286 4;
  • 23) 0,818 533 533 286 4 × 2 = 1 + 0,637 067 066 572 8;
  • 24) 0,637 067 066 572 8 × 2 = 1 + 0,274 134 133 145 6;
  • 25) 0,274 134 133 145 6 × 2 = 0 + 0,548 268 266 291 2;
  • 26) 0,548 268 266 291 2 × 2 = 1 + 0,096 536 532 582 4;
  • 27) 0,096 536 532 582 4 × 2 = 0 + 0,193 073 065 164 8;
  • 28) 0,193 073 065 164 8 × 2 = 0 + 0,386 146 130 329 6;
  • 29) 0,386 146 130 329 6 × 2 = 0 + 0,772 292 260 659 2;
  • 30) 0,772 292 260 659 2 × 2 = 1 + 0,544 584 521 318 4;
  • 31) 0,544 584 521 318 4 × 2 = 1 + 0,089 169 042 636 8;
  • 32) 0,089 169 042 636 8 × 2 = 0 + 0,178 338 085 273 6;
  • 33) 0,178 338 085 273 6 × 2 = 0 + 0,356 676 170 547 2;
  • 34) 0,356 676 170 547 2 × 2 = 0 + 0,713 352 341 094 4;
  • 35) 0,713 352 341 094 4 × 2 = 1 + 0,426 704 682 188 8;
  • 36) 0,426 704 682 188 8 × 2 = 0 + 0,853 409 364 377 6;
  • 37) 0,853 409 364 377 6 × 2 = 1 + 0,706 818 728 755 2;
  • 38) 0,706 818 728 755 2 × 2 = 1 + 0,413 637 457 510 4;
  • 39) 0,413 637 457 510 4 × 2 = 0 + 0,827 274 915 020 8;
  • 40) 0,827 274 915 020 8 × 2 = 1 + 0,654 549 830 041 6;
  • 41) 0,654 549 830 041 6 × 2 = 1 + 0,309 099 660 083 2;
  • 42) 0,309 099 660 083 2 × 2 = 0 + 0,618 199 320 166 4;
  • 43) 0,618 199 320 166 4 × 2 = 1 + 0,236 398 640 332 8;
  • 44) 0,236 398 640 332 8 × 2 = 0 + 0,472 797 280 665 6;
  • 45) 0,472 797 280 665 6 × 2 = 0 + 0,945 594 561 331 2;
  • 46) 0,945 594 561 331 2 × 2 = 1 + 0,891 189 122 662 4;
  • 47) 0,891 189 122 662 4 × 2 = 1 + 0,782 378 245 324 8;
  • 48) 0,782 378 245 324 8 × 2 = 1 + 0,564 756 490 649 6;
  • 49) 0,564 756 490 649 6 × 2 = 1 + 0,129 512 981 299 2;
  • 50) 0,129 512 981 299 2 × 2 = 0 + 0,259 025 962 598 4;
  • 51) 0,259 025 962 598 4 × 2 = 0 + 0,518 051 925 196 8;
  • 52) 0,518 051 925 196 8 × 2 = 1 + 0,036 103 850 393 6;
  • 53) 0,036 103 850 393 6 × 2 = 0 + 0,072 207 700 787 2;
  • 54) 0,072 207 700 787 2 × 2 = 0 + 0,144 415 401 574 4;
  • 55) 0,144 415 401 574 4 × 2 = 0 + 0,288 830 803 148 8;
  • 56) 0,288 830 803 148 8 × 2 = 0 + 0,577 661 606 297 6;
  • 57) 0,577 661 606 297 6 × 2 = 1 + 0,155 323 212 595 2;
  • 58) 0,155 323 212 595 2 × 2 = 0 + 0,310 646 425 190 4;
  • 59) 0,310 646 425 190 4 × 2 = 0 + 0,621 292 850 380 8;
  • 60) 0,621 292 850 380 8 × 2 = 1 + 0,242 585 700 761 6;
  • 61) 0,242 585 700 761 6 × 2 = 0 + 0,485 171 401 523 2;
  • 62) 0,485 171 401 523 2 × 2 = 0 + 0,970 342 803 046 4;
  • 63) 0,970 342 803 046 4 × 2 = 1 + 0,940 685 606 092 8;
  • 64) 0,940 685 606 092 8 × 2 = 1 + 0,881 371 212 185 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0111 1001 0000 1001 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 905 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100