-0,000 282 005 914 122 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 122(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 122(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 122| = 0,000 282 005 914 122


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 122.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 122 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 244;
  • 2) 0,000 564 011 828 244 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 488;
  • 3) 0,001 128 023 656 488 × 2 = 0 + 0,002 256 047 312 976;
  • 4) 0,002 256 047 312 976 × 2 = 0 + 0,004 512 094 625 952;
  • 5) 0,004 512 094 625 952 × 2 = 0 + 0,009 024 189 251 904;
  • 6) 0,009 024 189 251 904 × 2 = 0 + 0,018 048 378 503 808;
  • 7) 0,018 048 378 503 808 × 2 = 0 + 0,036 096 757 007 616;
  • 8) 0,036 096 757 007 616 × 2 = 0 + 0,072 193 514 015 232;
  • 9) 0,072 193 514 015 232 × 2 = 0 + 0,144 387 028 030 464;
  • 10) 0,144 387 028 030 464 × 2 = 0 + 0,288 774 056 060 928;
  • 11) 0,288 774 056 060 928 × 2 = 0 + 0,577 548 112 121 856;
  • 12) 0,577 548 112 121 856 × 2 = 1 + 0,155 096 224 243 712;
  • 13) 0,155 096 224 243 712 × 2 = 0 + 0,310 192 448 487 424;
  • 14) 0,310 192 448 487 424 × 2 = 0 + 0,620 384 896 974 848;
  • 15) 0,620 384 896 974 848 × 2 = 1 + 0,240 769 793 949 696;
  • 16) 0,240 769 793 949 696 × 2 = 0 + 0,481 539 587 899 392;
  • 17) 0,481 539 587 899 392 × 2 = 0 + 0,963 079 175 798 784;
  • 18) 0,963 079 175 798 784 × 2 = 1 + 0,926 158 351 597 568;
  • 19) 0,926 158 351 597 568 × 2 = 1 + 0,852 316 703 195 136;
  • 20) 0,852 316 703 195 136 × 2 = 1 + 0,704 633 406 390 272;
  • 21) 0,704 633 406 390 272 × 2 = 1 + 0,409 266 812 780 544;
  • 22) 0,409 266 812 780 544 × 2 = 0 + 0,818 533 625 561 088;
  • 23) 0,818 533 625 561 088 × 2 = 1 + 0,637 067 251 122 176;
  • 24) 0,637 067 251 122 176 × 2 = 1 + 0,274 134 502 244 352;
  • 25) 0,274 134 502 244 352 × 2 = 0 + 0,548 269 004 488 704;
  • 26) 0,548 269 004 488 704 × 2 = 1 + 0,096 538 008 977 408;
  • 27) 0,096 538 008 977 408 × 2 = 0 + 0,193 076 017 954 816;
  • 28) 0,193 076 017 954 816 × 2 = 0 + 0,386 152 035 909 632;
  • 29) 0,386 152 035 909 632 × 2 = 0 + 0,772 304 071 819 264;
  • 30) 0,772 304 071 819 264 × 2 = 1 + 0,544 608 143 638 528;
  • 31) 0,544 608 143 638 528 × 2 = 1 + 0,089 216 287 277 056;
  • 32) 0,089 216 287 277 056 × 2 = 0 + 0,178 432 574 554 112;
  • 33) 0,178 432 574 554 112 × 2 = 0 + 0,356 865 149 108 224;
  • 34) 0,356 865 149 108 224 × 2 = 0 + 0,713 730 298 216 448;
  • 35) 0,713 730 298 216 448 × 2 = 1 + 0,427 460 596 432 896;
  • 36) 0,427 460 596 432 896 × 2 = 0 + 0,854 921 192 865 792;
  • 37) 0,854 921 192 865 792 × 2 = 1 + 0,709 842 385 731 584;
  • 38) 0,709 842 385 731 584 × 2 = 1 + 0,419 684 771 463 168;
  • 39) 0,419 684 771 463 168 × 2 = 0 + 0,839 369 542 926 336;
  • 40) 0,839 369 542 926 336 × 2 = 1 + 0,678 739 085 852 672;
  • 41) 0,678 739 085 852 672 × 2 = 1 + 0,357 478 171 705 344;
  • 42) 0,357 478 171 705 344 × 2 = 0 + 0,714 956 343 410 688;
  • 43) 0,714 956 343 410 688 × 2 = 1 + 0,429 912 686 821 376;
  • 44) 0,429 912 686 821 376 × 2 = 0 + 0,859 825 373 642 752;
  • 45) 0,859 825 373 642 752 × 2 = 1 + 0,719 650 747 285 504;
  • 46) 0,719 650 747 285 504 × 2 = 1 + 0,439 301 494 571 008;
  • 47) 0,439 301 494 571 008 × 2 = 0 + 0,878 602 989 142 016;
  • 48) 0,878 602 989 142 016 × 2 = 1 + 0,757 205 978 284 032;
  • 49) 0,757 205 978 284 032 × 2 = 1 + 0,514 411 956 568 064;
  • 50) 0,514 411 956 568 064 × 2 = 1 + 0,028 823 913 136 128;
  • 51) 0,028 823 913 136 128 × 2 = 0 + 0,057 647 826 272 256;
  • 52) 0,057 647 826 272 256 × 2 = 0 + 0,115 295 652 544 512;
  • 53) 0,115 295 652 544 512 × 2 = 0 + 0,230 591 305 089 024;
  • 54) 0,230 591 305 089 024 × 2 = 0 + 0,461 182 610 178 048;
  • 55) 0,461 182 610 178 048 × 2 = 0 + 0,922 365 220 356 096;
  • 56) 0,922 365 220 356 096 × 2 = 1 + 0,844 730 440 712 192;
  • 57) 0,844 730 440 712 192 × 2 = 1 + 0,689 460 881 424 384;
  • 58) 0,689 460 881 424 384 × 2 = 1 + 0,378 921 762 848 768;
  • 59) 0,378 921 762 848 768 × 2 = 0 + 0,757 843 525 697 536;
  • 60) 0,757 843 525 697 536 × 2 = 1 + 0,515 687 051 395 072;
  • 61) 0,515 687 051 395 072 × 2 = 1 + 0,031 374 102 790 144;
  • 62) 0,031 374 102 790 144 × 2 = 0 + 0,062 748 205 580 288;
  • 63) 0,062 748 205 580 288 × 2 = 0 + 0,125 496 411 160 576;
  • 64) 0,125 496 411 160 576 × 2 = 0 + 0,250 992 822 321 152;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 122(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 122(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 122(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 122 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 1101 1100 0001 1101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 061 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100