-0,000 282 005 914 133 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 133(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 133(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 133| = 0,000 282 005 914 133


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 133.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 133 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 266;
  • 2) 0,000 564 011 828 266 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 532;
  • 3) 0,001 128 023 656 532 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 064;
  • 4) 0,002 256 047 313 064 × 2 = 0 + 0,004 512 094 626 128;
  • 5) 0,004 512 094 626 128 × 2 = 0 + 0,009 024 189 252 256;
  • 6) 0,009 024 189 252 256 × 2 = 0 + 0,018 048 378 504 512;
  • 7) 0,018 048 378 504 512 × 2 = 0 + 0,036 096 757 009 024;
  • 8) 0,036 096 757 009 024 × 2 = 0 + 0,072 193 514 018 048;
  • 9) 0,072 193 514 018 048 × 2 = 0 + 0,144 387 028 036 096;
  • 10) 0,144 387 028 036 096 × 2 = 0 + 0,288 774 056 072 192;
  • 11) 0,288 774 056 072 192 × 2 = 0 + 0,577 548 112 144 384;
  • 12) 0,577 548 112 144 384 × 2 = 1 + 0,155 096 224 288 768;
  • 13) 0,155 096 224 288 768 × 2 = 0 + 0,310 192 448 577 536;
  • 14) 0,310 192 448 577 536 × 2 = 0 + 0,620 384 897 155 072;
  • 15) 0,620 384 897 155 072 × 2 = 1 + 0,240 769 794 310 144;
  • 16) 0,240 769 794 310 144 × 2 = 0 + 0,481 539 588 620 288;
  • 17) 0,481 539 588 620 288 × 2 = 0 + 0,963 079 177 240 576;
  • 18) 0,963 079 177 240 576 × 2 = 1 + 0,926 158 354 481 152;
  • 19) 0,926 158 354 481 152 × 2 = 1 + 0,852 316 708 962 304;
  • 20) 0,852 316 708 962 304 × 2 = 1 + 0,704 633 417 924 608;
  • 21) 0,704 633 417 924 608 × 2 = 1 + 0,409 266 835 849 216;
  • 22) 0,409 266 835 849 216 × 2 = 0 + 0,818 533 671 698 432;
  • 23) 0,818 533 671 698 432 × 2 = 1 + 0,637 067 343 396 864;
  • 24) 0,637 067 343 396 864 × 2 = 1 + 0,274 134 686 793 728;
  • 25) 0,274 134 686 793 728 × 2 = 0 + 0,548 269 373 587 456;
  • 26) 0,548 269 373 587 456 × 2 = 1 + 0,096 538 747 174 912;
  • 27) 0,096 538 747 174 912 × 2 = 0 + 0,193 077 494 349 824;
  • 28) 0,193 077 494 349 824 × 2 = 0 + 0,386 154 988 699 648;
  • 29) 0,386 154 988 699 648 × 2 = 0 + 0,772 309 977 399 296;
  • 30) 0,772 309 977 399 296 × 2 = 1 + 0,544 619 954 798 592;
  • 31) 0,544 619 954 798 592 × 2 = 1 + 0,089 239 909 597 184;
  • 32) 0,089 239 909 597 184 × 2 = 0 + 0,178 479 819 194 368;
  • 33) 0,178 479 819 194 368 × 2 = 0 + 0,356 959 638 388 736;
  • 34) 0,356 959 638 388 736 × 2 = 0 + 0,713 919 276 777 472;
  • 35) 0,713 919 276 777 472 × 2 = 1 + 0,427 838 553 554 944;
  • 36) 0,427 838 553 554 944 × 2 = 0 + 0,855 677 107 109 888;
  • 37) 0,855 677 107 109 888 × 2 = 1 + 0,711 354 214 219 776;
  • 38) 0,711 354 214 219 776 × 2 = 1 + 0,422 708 428 439 552;
  • 39) 0,422 708 428 439 552 × 2 = 0 + 0,845 416 856 879 104;
  • 40) 0,845 416 856 879 104 × 2 = 1 + 0,690 833 713 758 208;
  • 41) 0,690 833 713 758 208 × 2 = 1 + 0,381 667 427 516 416;
  • 42) 0,381 667 427 516 416 × 2 = 0 + 0,763 334 855 032 832;
  • 43) 0,763 334 855 032 832 × 2 = 1 + 0,526 669 710 065 664;
  • 44) 0,526 669 710 065 664 × 2 = 1 + 0,053 339 420 131 328;
  • 45) 0,053 339 420 131 328 × 2 = 0 + 0,106 678 840 262 656;
  • 46) 0,106 678 840 262 656 × 2 = 0 + 0,213 357 680 525 312;
  • 47) 0,213 357 680 525 312 × 2 = 0 + 0,426 715 361 050 624;
  • 48) 0,426 715 361 050 624 × 2 = 0 + 0,853 430 722 101 248;
  • 49) 0,853 430 722 101 248 × 2 = 1 + 0,706 861 444 202 496;
  • 50) 0,706 861 444 202 496 × 2 = 1 + 0,413 722 888 404 992;
  • 51) 0,413 722 888 404 992 × 2 = 0 + 0,827 445 776 809 984;
  • 52) 0,827 445 776 809 984 × 2 = 1 + 0,654 891 553 619 968;
  • 53) 0,654 891 553 619 968 × 2 = 1 + 0,309 783 107 239 936;
  • 54) 0,309 783 107 239 936 × 2 = 0 + 0,619 566 214 479 872;
  • 55) 0,619 566 214 479 872 × 2 = 1 + 0,239 132 428 959 744;
  • 56) 0,239 132 428 959 744 × 2 = 0 + 0,478 264 857 919 488;
  • 57) 0,478 264 857 919 488 × 2 = 0 + 0,956 529 715 838 976;
  • 58) 0,956 529 715 838 976 × 2 = 1 + 0,913 059 431 677 952;
  • 59) 0,913 059 431 677 952 × 2 = 1 + 0,826 118 863 355 904;
  • 60) 0,826 118 863 355 904 × 2 = 1 + 0,652 237 726 711 808;
  • 61) 0,652 237 726 711 808 × 2 = 1 + 0,304 475 453 423 616;
  • 62) 0,304 475 453 423 616 × 2 = 0 + 0,608 950 906 847 232;
  • 63) 0,608 950 906 847 232 × 2 = 1 + 0,217 901 813 694 464;
  • 64) 0,217 901 813 694 464 × 2 = 0 + 0,435 803 627 388 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 133(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 133(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 133(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 133 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0000 1101 1010 0111 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 09 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100