-0,000 282 005 914 137 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 137(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 137(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 137| = 0,000 282 005 914 137


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 137.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 137 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 274;
  • 2) 0,000 564 011 828 274 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 548;
  • 3) 0,001 128 023 656 548 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 096;
  • 4) 0,002 256 047 313 096 × 2 = 0 + 0,004 512 094 626 192;
  • 5) 0,004 512 094 626 192 × 2 = 0 + 0,009 024 189 252 384;
  • 6) 0,009 024 189 252 384 × 2 = 0 + 0,018 048 378 504 768;
  • 7) 0,018 048 378 504 768 × 2 = 0 + 0,036 096 757 009 536;
  • 8) 0,036 096 757 009 536 × 2 = 0 + 0,072 193 514 019 072;
  • 9) 0,072 193 514 019 072 × 2 = 0 + 0,144 387 028 038 144;
  • 10) 0,144 387 028 038 144 × 2 = 0 + 0,288 774 056 076 288;
  • 11) 0,288 774 056 076 288 × 2 = 0 + 0,577 548 112 152 576;
  • 12) 0,577 548 112 152 576 × 2 = 1 + 0,155 096 224 305 152;
  • 13) 0,155 096 224 305 152 × 2 = 0 + 0,310 192 448 610 304;
  • 14) 0,310 192 448 610 304 × 2 = 0 + 0,620 384 897 220 608;
  • 15) 0,620 384 897 220 608 × 2 = 1 + 0,240 769 794 441 216;
  • 16) 0,240 769 794 441 216 × 2 = 0 + 0,481 539 588 882 432;
  • 17) 0,481 539 588 882 432 × 2 = 0 + 0,963 079 177 764 864;
  • 18) 0,963 079 177 764 864 × 2 = 1 + 0,926 158 355 529 728;
  • 19) 0,926 158 355 529 728 × 2 = 1 + 0,852 316 711 059 456;
  • 20) 0,852 316 711 059 456 × 2 = 1 + 0,704 633 422 118 912;
  • 21) 0,704 633 422 118 912 × 2 = 1 + 0,409 266 844 237 824;
  • 22) 0,409 266 844 237 824 × 2 = 0 + 0,818 533 688 475 648;
  • 23) 0,818 533 688 475 648 × 2 = 1 + 0,637 067 376 951 296;
  • 24) 0,637 067 376 951 296 × 2 = 1 + 0,274 134 753 902 592;
  • 25) 0,274 134 753 902 592 × 2 = 0 + 0,548 269 507 805 184;
  • 26) 0,548 269 507 805 184 × 2 = 1 + 0,096 539 015 610 368;
  • 27) 0,096 539 015 610 368 × 2 = 0 + 0,193 078 031 220 736;
  • 28) 0,193 078 031 220 736 × 2 = 0 + 0,386 156 062 441 472;
  • 29) 0,386 156 062 441 472 × 2 = 0 + 0,772 312 124 882 944;
  • 30) 0,772 312 124 882 944 × 2 = 1 + 0,544 624 249 765 888;
  • 31) 0,544 624 249 765 888 × 2 = 1 + 0,089 248 499 531 776;
  • 32) 0,089 248 499 531 776 × 2 = 0 + 0,178 496 999 063 552;
  • 33) 0,178 496 999 063 552 × 2 = 0 + 0,356 993 998 127 104;
  • 34) 0,356 993 998 127 104 × 2 = 0 + 0,713 987 996 254 208;
  • 35) 0,713 987 996 254 208 × 2 = 1 + 0,427 975 992 508 416;
  • 36) 0,427 975 992 508 416 × 2 = 0 + 0,855 951 985 016 832;
  • 37) 0,855 951 985 016 832 × 2 = 1 + 0,711 903 970 033 664;
  • 38) 0,711 903 970 033 664 × 2 = 1 + 0,423 807 940 067 328;
  • 39) 0,423 807 940 067 328 × 2 = 0 + 0,847 615 880 134 656;
  • 40) 0,847 615 880 134 656 × 2 = 1 + 0,695 231 760 269 312;
  • 41) 0,695 231 760 269 312 × 2 = 1 + 0,390 463 520 538 624;
  • 42) 0,390 463 520 538 624 × 2 = 0 + 0,780 927 041 077 248;
  • 43) 0,780 927 041 077 248 × 2 = 1 + 0,561 854 082 154 496;
  • 44) 0,561 854 082 154 496 × 2 = 1 + 0,123 708 164 308 992;
  • 45) 0,123 708 164 308 992 × 2 = 0 + 0,247 416 328 617 984;
  • 46) 0,247 416 328 617 984 × 2 = 0 + 0,494 832 657 235 968;
  • 47) 0,494 832 657 235 968 × 2 = 0 + 0,989 665 314 471 936;
  • 48) 0,989 665 314 471 936 × 2 = 1 + 0,979 330 628 943 872;
  • 49) 0,979 330 628 943 872 × 2 = 1 + 0,958 661 257 887 744;
  • 50) 0,958 661 257 887 744 × 2 = 1 + 0,917 322 515 775 488;
  • 51) 0,917 322 515 775 488 × 2 = 1 + 0,834 645 031 550 976;
  • 52) 0,834 645 031 550 976 × 2 = 1 + 0,669 290 063 101 952;
  • 53) 0,669 290 063 101 952 × 2 = 1 + 0,338 580 126 203 904;
  • 54) 0,338 580 126 203 904 × 2 = 0 + 0,677 160 252 407 808;
  • 55) 0,677 160 252 407 808 × 2 = 1 + 0,354 320 504 815 616;
  • 56) 0,354 320 504 815 616 × 2 = 0 + 0,708 641 009 631 232;
  • 57) 0,708 641 009 631 232 × 2 = 1 + 0,417 282 019 262 464;
  • 58) 0,417 282 019 262 464 × 2 = 0 + 0,834 564 038 524 928;
  • 59) 0,834 564 038 524 928 × 2 = 1 + 0,669 128 077 049 856;
  • 60) 0,669 128 077 049 856 × 2 = 1 + 0,338 256 154 099 712;
  • 61) 0,338 256 154 099 712 × 2 = 0 + 0,676 512 308 199 424;
  • 62) 0,676 512 308 199 424 × 2 = 1 + 0,353 024 616 398 848;
  • 63) 0,353 024 616 398 848 × 2 = 0 + 0,706 049 232 797 696;
  • 64) 0,706 049 232 797 696 × 2 = 1 + 0,412 098 465 595 392;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 137(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 137(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 137(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 137 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0001 1111 1010 1011 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 16 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100