-0,000 282 005 914 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 15| = 0,000 282 005 914 15


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 15 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 3;
  • 2) 0,000 564 011 828 3 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 6;
  • 3) 0,001 128 023 656 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 2;
  • 4) 0,002 256 047 313 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 626 4;
  • 5) 0,004 512 094 626 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 252 8;
  • 6) 0,009 024 189 252 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 505 6;
  • 7) 0,018 048 378 505 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 011 2;
  • 8) 0,036 096 757 011 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 022 4;
  • 9) 0,072 193 514 022 4 × 2 = 0 + 0,144 387 028 044 8;
  • 10) 0,144 387 028 044 8 × 2 = 0 + 0,288 774 056 089 6;
  • 11) 0,288 774 056 089 6 × 2 = 0 + 0,577 548 112 179 2;
  • 12) 0,577 548 112 179 2 × 2 = 1 + 0,155 096 224 358 4;
  • 13) 0,155 096 224 358 4 × 2 = 0 + 0,310 192 448 716 8;
  • 14) 0,310 192 448 716 8 × 2 = 0 + 0,620 384 897 433 6;
  • 15) 0,620 384 897 433 6 × 2 = 1 + 0,240 769 794 867 2;
  • 16) 0,240 769 794 867 2 × 2 = 0 + 0,481 539 589 734 4;
  • 17) 0,481 539 589 734 4 × 2 = 0 + 0,963 079 179 468 8;
  • 18) 0,963 079 179 468 8 × 2 = 1 + 0,926 158 358 937 6;
  • 19) 0,926 158 358 937 6 × 2 = 1 + 0,852 316 717 875 2;
  • 20) 0,852 316 717 875 2 × 2 = 1 + 0,704 633 435 750 4;
  • 21) 0,704 633 435 750 4 × 2 = 1 + 0,409 266 871 500 8;
  • 22) 0,409 266 871 500 8 × 2 = 0 + 0,818 533 743 001 6;
  • 23) 0,818 533 743 001 6 × 2 = 1 + 0,637 067 486 003 2;
  • 24) 0,637 067 486 003 2 × 2 = 1 + 0,274 134 972 006 4;
  • 25) 0,274 134 972 006 4 × 2 = 0 + 0,548 269 944 012 8;
  • 26) 0,548 269 944 012 8 × 2 = 1 + 0,096 539 888 025 6;
  • 27) 0,096 539 888 025 6 × 2 = 0 + 0,193 079 776 051 2;
  • 28) 0,193 079 776 051 2 × 2 = 0 + 0,386 159 552 102 4;
  • 29) 0,386 159 552 102 4 × 2 = 0 + 0,772 319 104 204 8;
  • 30) 0,772 319 104 204 8 × 2 = 1 + 0,544 638 208 409 6;
  • 31) 0,544 638 208 409 6 × 2 = 1 + 0,089 276 416 819 2;
  • 32) 0,089 276 416 819 2 × 2 = 0 + 0,178 552 833 638 4;
  • 33) 0,178 552 833 638 4 × 2 = 0 + 0,357 105 667 276 8;
  • 34) 0,357 105 667 276 8 × 2 = 0 + 0,714 211 334 553 6;
  • 35) 0,714 211 334 553 6 × 2 = 1 + 0,428 422 669 107 2;
  • 36) 0,428 422 669 107 2 × 2 = 0 + 0,856 845 338 214 4;
  • 37) 0,856 845 338 214 4 × 2 = 1 + 0,713 690 676 428 8;
  • 38) 0,713 690 676 428 8 × 2 = 1 + 0,427 381 352 857 6;
  • 39) 0,427 381 352 857 6 × 2 = 0 + 0,854 762 705 715 2;
  • 40) 0,854 762 705 715 2 × 2 = 1 + 0,709 525 411 430 4;
  • 41) 0,709 525 411 430 4 × 2 = 1 + 0,419 050 822 860 8;
  • 42) 0,419 050 822 860 8 × 2 = 0 + 0,838 101 645 721 6;
  • 43) 0,838 101 645 721 6 × 2 = 1 + 0,676 203 291 443 2;
  • 44) 0,676 203 291 443 2 × 2 = 1 + 0,352 406 582 886 4;
  • 45) 0,352 406 582 886 4 × 2 = 0 + 0,704 813 165 772 8;
  • 46) 0,704 813 165 772 8 × 2 = 1 + 0,409 626 331 545 6;
  • 47) 0,409 626 331 545 6 × 2 = 0 + 0,819 252 663 091 2;
  • 48) 0,819 252 663 091 2 × 2 = 1 + 0,638 505 326 182 4;
  • 49) 0,638 505 326 182 4 × 2 = 1 + 0,277 010 652 364 8;
  • 50) 0,277 010 652 364 8 × 2 = 0 + 0,554 021 304 729 6;
  • 51) 0,554 021 304 729 6 × 2 = 1 + 0,108 042 609 459 2;
  • 52) 0,108 042 609 459 2 × 2 = 0 + 0,216 085 218 918 4;
  • 53) 0,216 085 218 918 4 × 2 = 0 + 0,432 170 437 836 8;
  • 54) 0,432 170 437 836 8 × 2 = 0 + 0,864 340 875 673 6;
  • 55) 0,864 340 875 673 6 × 2 = 1 + 0,728 681 751 347 2;
  • 56) 0,728 681 751 347 2 × 2 = 1 + 0,457 363 502 694 4;
  • 57) 0,457 363 502 694 4 × 2 = 0 + 0,914 727 005 388 8;
  • 58) 0,914 727 005 388 8 × 2 = 1 + 0,829 454 010 777 6;
  • 59) 0,829 454 010 777 6 × 2 = 1 + 0,658 908 021 555 2;
  • 60) 0,658 908 021 555 2 × 2 = 1 + 0,317 816 043 110 4;
  • 61) 0,317 816 043 110 4 × 2 = 0 + 0,635 632 086 220 8;
  • 62) 0,635 632 086 220 8 × 2 = 1 + 0,271 264 172 441 6;
  • 63) 0,271 264 172 441 6 × 2 = 0 + 0,542 528 344 883 2;
  • 64) 0,542 528 344 883 2 × 2 = 1 + 0,085 056 689 766 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 15(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 15(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 15(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 0101 1010 0011 0111 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100