-0,000 282 005 914 16 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 16(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 16(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 16| = 0,000 282 005 914 16


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 16.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 16 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 32;
  • 2) 0,000 564 011 828 32 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 64;
  • 3) 0,001 128 023 656 64 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 28;
  • 4) 0,002 256 047 313 28 × 2 = 0 + 0,004 512 094 626 56;
  • 5) 0,004 512 094 626 56 × 2 = 0 + 0,009 024 189 253 12;
  • 6) 0,009 024 189 253 12 × 2 = 0 + 0,018 048 378 506 24;
  • 7) 0,018 048 378 506 24 × 2 = 0 + 0,036 096 757 012 48;
  • 8) 0,036 096 757 012 48 × 2 = 0 + 0,072 193 514 024 96;
  • 9) 0,072 193 514 024 96 × 2 = 0 + 0,144 387 028 049 92;
  • 10) 0,144 387 028 049 92 × 2 = 0 + 0,288 774 056 099 84;
  • 11) 0,288 774 056 099 84 × 2 = 0 + 0,577 548 112 199 68;
  • 12) 0,577 548 112 199 68 × 2 = 1 + 0,155 096 224 399 36;
  • 13) 0,155 096 224 399 36 × 2 = 0 + 0,310 192 448 798 72;
  • 14) 0,310 192 448 798 72 × 2 = 0 + 0,620 384 897 597 44;
  • 15) 0,620 384 897 597 44 × 2 = 1 + 0,240 769 795 194 88;
  • 16) 0,240 769 795 194 88 × 2 = 0 + 0,481 539 590 389 76;
  • 17) 0,481 539 590 389 76 × 2 = 0 + 0,963 079 180 779 52;
  • 18) 0,963 079 180 779 52 × 2 = 1 + 0,926 158 361 559 04;
  • 19) 0,926 158 361 559 04 × 2 = 1 + 0,852 316 723 118 08;
  • 20) 0,852 316 723 118 08 × 2 = 1 + 0,704 633 446 236 16;
  • 21) 0,704 633 446 236 16 × 2 = 1 + 0,409 266 892 472 32;
  • 22) 0,409 266 892 472 32 × 2 = 0 + 0,818 533 784 944 64;
  • 23) 0,818 533 784 944 64 × 2 = 1 + 0,637 067 569 889 28;
  • 24) 0,637 067 569 889 28 × 2 = 1 + 0,274 135 139 778 56;
  • 25) 0,274 135 139 778 56 × 2 = 0 + 0,548 270 279 557 12;
  • 26) 0,548 270 279 557 12 × 2 = 1 + 0,096 540 559 114 24;
  • 27) 0,096 540 559 114 24 × 2 = 0 + 0,193 081 118 228 48;
  • 28) 0,193 081 118 228 48 × 2 = 0 + 0,386 162 236 456 96;
  • 29) 0,386 162 236 456 96 × 2 = 0 + 0,772 324 472 913 92;
  • 30) 0,772 324 472 913 92 × 2 = 1 + 0,544 648 945 827 84;
  • 31) 0,544 648 945 827 84 × 2 = 1 + 0,089 297 891 655 68;
  • 32) 0,089 297 891 655 68 × 2 = 0 + 0,178 595 783 311 36;
  • 33) 0,178 595 783 311 36 × 2 = 0 + 0,357 191 566 622 72;
  • 34) 0,357 191 566 622 72 × 2 = 0 + 0,714 383 133 245 44;
  • 35) 0,714 383 133 245 44 × 2 = 1 + 0,428 766 266 490 88;
  • 36) 0,428 766 266 490 88 × 2 = 0 + 0,857 532 532 981 76;
  • 37) 0,857 532 532 981 76 × 2 = 1 + 0,715 065 065 963 52;
  • 38) 0,715 065 065 963 52 × 2 = 1 + 0,430 130 131 927 04;
  • 39) 0,430 130 131 927 04 × 2 = 0 + 0,860 260 263 854 08;
  • 40) 0,860 260 263 854 08 × 2 = 1 + 0,720 520 527 708 16;
  • 41) 0,720 520 527 708 16 × 2 = 1 + 0,441 041 055 416 32;
  • 42) 0,441 041 055 416 32 × 2 = 0 + 0,882 082 110 832 64;
  • 43) 0,882 082 110 832 64 × 2 = 1 + 0,764 164 221 665 28;
  • 44) 0,764 164 221 665 28 × 2 = 1 + 0,528 328 443 330 56;
  • 45) 0,528 328 443 330 56 × 2 = 1 + 0,056 656 886 661 12;
  • 46) 0,056 656 886 661 12 × 2 = 0 + 0,113 313 773 322 24;
  • 47) 0,113 313 773 322 24 × 2 = 0 + 0,226 627 546 644 48;
  • 48) 0,226 627 546 644 48 × 2 = 0 + 0,453 255 093 288 96;
  • 49) 0,453 255 093 288 96 × 2 = 0 + 0,906 510 186 577 92;
  • 50) 0,906 510 186 577 92 × 2 = 1 + 0,813 020 373 155 84;
  • 51) 0,813 020 373 155 84 × 2 = 1 + 0,626 040 746 311 68;
  • 52) 0,626 040 746 311 68 × 2 = 1 + 0,252 081 492 623 36;
  • 53) 0,252 081 492 623 36 × 2 = 0 + 0,504 162 985 246 72;
  • 54) 0,504 162 985 246 72 × 2 = 1 + 0,008 325 970 493 44;
  • 55) 0,008 325 970 493 44 × 2 = 0 + 0,016 651 940 986 88;
  • 56) 0,016 651 940 986 88 × 2 = 0 + 0,033 303 881 973 76;
  • 57) 0,033 303 881 973 76 × 2 = 0 + 0,066 607 763 947 52;
  • 58) 0,066 607 763 947 52 × 2 = 0 + 0,133 215 527 895 04;
  • 59) 0,133 215 527 895 04 × 2 = 0 + 0,266 431 055 790 08;
  • 60) 0,266 431 055 790 08 × 2 = 0 + 0,532 862 111 580 16;
  • 61) 0,532 862 111 580 16 × 2 = 1 + 0,065 724 223 160 32;
  • 62) 0,065 724 223 160 32 × 2 = 0 + 0,131 448 446 320 64;
  • 63) 0,131 448 446 320 64 × 2 = 0 + 0,262 896 892 641 28;
  • 64) 0,262 896 892 641 28 × 2 = 0 + 0,525 793 785 282 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 16(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 16(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 16(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 16 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1000 0111 0100 0000 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 75 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100