-0,000 282 005 914 169 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 169(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 169(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 169| = 0,000 282 005 914 169


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 169.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 169 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 338;
  • 2) 0,000 564 011 828 338 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 676;
  • 3) 0,001 128 023 656 676 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 352;
  • 4) 0,002 256 047 313 352 × 2 = 0 + 0,004 512 094 626 704;
  • 5) 0,004 512 094 626 704 × 2 = 0 + 0,009 024 189 253 408;
  • 6) 0,009 024 189 253 408 × 2 = 0 + 0,018 048 378 506 816;
  • 7) 0,018 048 378 506 816 × 2 = 0 + 0,036 096 757 013 632;
  • 8) 0,036 096 757 013 632 × 2 = 0 + 0,072 193 514 027 264;
  • 9) 0,072 193 514 027 264 × 2 = 0 + 0,144 387 028 054 528;
  • 10) 0,144 387 028 054 528 × 2 = 0 + 0,288 774 056 109 056;
  • 11) 0,288 774 056 109 056 × 2 = 0 + 0,577 548 112 218 112;
  • 12) 0,577 548 112 218 112 × 2 = 1 + 0,155 096 224 436 224;
  • 13) 0,155 096 224 436 224 × 2 = 0 + 0,310 192 448 872 448;
  • 14) 0,310 192 448 872 448 × 2 = 0 + 0,620 384 897 744 896;
  • 15) 0,620 384 897 744 896 × 2 = 1 + 0,240 769 795 489 792;
  • 16) 0,240 769 795 489 792 × 2 = 0 + 0,481 539 590 979 584;
  • 17) 0,481 539 590 979 584 × 2 = 0 + 0,963 079 181 959 168;
  • 18) 0,963 079 181 959 168 × 2 = 1 + 0,926 158 363 918 336;
  • 19) 0,926 158 363 918 336 × 2 = 1 + 0,852 316 727 836 672;
  • 20) 0,852 316 727 836 672 × 2 = 1 + 0,704 633 455 673 344;
  • 21) 0,704 633 455 673 344 × 2 = 1 + 0,409 266 911 346 688;
  • 22) 0,409 266 911 346 688 × 2 = 0 + 0,818 533 822 693 376;
  • 23) 0,818 533 822 693 376 × 2 = 1 + 0,637 067 645 386 752;
  • 24) 0,637 067 645 386 752 × 2 = 1 + 0,274 135 290 773 504;
  • 25) 0,274 135 290 773 504 × 2 = 0 + 0,548 270 581 547 008;
  • 26) 0,548 270 581 547 008 × 2 = 1 + 0,096 541 163 094 016;
  • 27) 0,096 541 163 094 016 × 2 = 0 + 0,193 082 326 188 032;
  • 28) 0,193 082 326 188 032 × 2 = 0 + 0,386 164 652 376 064;
  • 29) 0,386 164 652 376 064 × 2 = 0 + 0,772 329 304 752 128;
  • 30) 0,772 329 304 752 128 × 2 = 1 + 0,544 658 609 504 256;
  • 31) 0,544 658 609 504 256 × 2 = 1 + 0,089 317 219 008 512;
  • 32) 0,089 317 219 008 512 × 2 = 0 + 0,178 634 438 017 024;
  • 33) 0,178 634 438 017 024 × 2 = 0 + 0,357 268 876 034 048;
  • 34) 0,357 268 876 034 048 × 2 = 0 + 0,714 537 752 068 096;
  • 35) 0,714 537 752 068 096 × 2 = 1 + 0,429 075 504 136 192;
  • 36) 0,429 075 504 136 192 × 2 = 0 + 0,858 151 008 272 384;
  • 37) 0,858 151 008 272 384 × 2 = 1 + 0,716 302 016 544 768;
  • 38) 0,716 302 016 544 768 × 2 = 1 + 0,432 604 033 089 536;
  • 39) 0,432 604 033 089 536 × 2 = 0 + 0,865 208 066 179 072;
  • 40) 0,865 208 066 179 072 × 2 = 1 + 0,730 416 132 358 144;
  • 41) 0,730 416 132 358 144 × 2 = 1 + 0,460 832 264 716 288;
  • 42) 0,460 832 264 716 288 × 2 = 0 + 0,921 664 529 432 576;
  • 43) 0,921 664 529 432 576 × 2 = 1 + 0,843 329 058 865 152;
  • 44) 0,843 329 058 865 152 × 2 = 1 + 0,686 658 117 730 304;
  • 45) 0,686 658 117 730 304 × 2 = 1 + 0,373 316 235 460 608;
  • 46) 0,373 316 235 460 608 × 2 = 0 + 0,746 632 470 921 216;
  • 47) 0,746 632 470 921 216 × 2 = 1 + 0,493 264 941 842 432;
  • 48) 0,493 264 941 842 432 × 2 = 0 + 0,986 529 883 684 864;
  • 49) 0,986 529 883 684 864 × 2 = 1 + 0,973 059 767 369 728;
  • 50) 0,973 059 767 369 728 × 2 = 1 + 0,946 119 534 739 456;
  • 51) 0,946 119 534 739 456 × 2 = 1 + 0,892 239 069 478 912;
  • 52) 0,892 239 069 478 912 × 2 = 1 + 0,784 478 138 957 824;
  • 53) 0,784 478 138 957 824 × 2 = 1 + 0,568 956 277 915 648;
  • 54) 0,568 956 277 915 648 × 2 = 1 + 0,137 912 555 831 296;
  • 55) 0,137 912 555 831 296 × 2 = 0 + 0,275 825 111 662 592;
  • 56) 0,275 825 111 662 592 × 2 = 0 + 0,551 650 223 325 184;
  • 57) 0,551 650 223 325 184 × 2 = 1 + 0,103 300 446 650 368;
  • 58) 0,103 300 446 650 368 × 2 = 0 + 0,206 600 893 300 736;
  • 59) 0,206 600 893 300 736 × 2 = 0 + 0,413 201 786 601 472;
  • 60) 0,413 201 786 601 472 × 2 = 0 + 0,826 403 573 202 944;
  • 61) 0,826 403 573 202 944 × 2 = 1 + 0,652 807 146 405 888;
  • 62) 0,652 807 146 405 888 × 2 = 1 + 0,305 614 292 811 776;
  • 63) 0,305 614 292 811 776 × 2 = 0 + 0,611 228 585 623 552;
  • 64) 0,611 228 585 623 552 × 2 = 1 + 0,222 457 171 247 104;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 169(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 169(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 169(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 169 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1011 1010 1111 1100 1000 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 242 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100