-0,000 282 005 914 222 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 222(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 222(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 222| = 0,000 282 005 914 222


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 222.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 222 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 444;
  • 2) 0,000 564 011 828 444 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 888;
  • 3) 0,001 128 023 656 888 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 776;
  • 4) 0,002 256 047 313 776 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 552;
  • 5) 0,004 512 094 627 552 × 2 = 0 + 0,009 024 189 255 104;
  • 6) 0,009 024 189 255 104 × 2 = 0 + 0,018 048 378 510 208;
  • 7) 0,018 048 378 510 208 × 2 = 0 + 0,036 096 757 020 416;
  • 8) 0,036 096 757 020 416 × 2 = 0 + 0,072 193 514 040 832;
  • 9) 0,072 193 514 040 832 × 2 = 0 + 0,144 387 028 081 664;
  • 10) 0,144 387 028 081 664 × 2 = 0 + 0,288 774 056 163 328;
  • 11) 0,288 774 056 163 328 × 2 = 0 + 0,577 548 112 326 656;
  • 12) 0,577 548 112 326 656 × 2 = 1 + 0,155 096 224 653 312;
  • 13) 0,155 096 224 653 312 × 2 = 0 + 0,310 192 449 306 624;
  • 14) 0,310 192 449 306 624 × 2 = 0 + 0,620 384 898 613 248;
  • 15) 0,620 384 898 613 248 × 2 = 1 + 0,240 769 797 226 496;
  • 16) 0,240 769 797 226 496 × 2 = 0 + 0,481 539 594 452 992;
  • 17) 0,481 539 594 452 992 × 2 = 0 + 0,963 079 188 905 984;
  • 18) 0,963 079 188 905 984 × 2 = 1 + 0,926 158 377 811 968;
  • 19) 0,926 158 377 811 968 × 2 = 1 + 0,852 316 755 623 936;
  • 20) 0,852 316 755 623 936 × 2 = 1 + 0,704 633 511 247 872;
  • 21) 0,704 633 511 247 872 × 2 = 1 + 0,409 267 022 495 744;
  • 22) 0,409 267 022 495 744 × 2 = 0 + 0,818 534 044 991 488;
  • 23) 0,818 534 044 991 488 × 2 = 1 + 0,637 068 089 982 976;
  • 24) 0,637 068 089 982 976 × 2 = 1 + 0,274 136 179 965 952;
  • 25) 0,274 136 179 965 952 × 2 = 0 + 0,548 272 359 931 904;
  • 26) 0,548 272 359 931 904 × 2 = 1 + 0,096 544 719 863 808;
  • 27) 0,096 544 719 863 808 × 2 = 0 + 0,193 089 439 727 616;
  • 28) 0,193 089 439 727 616 × 2 = 0 + 0,386 178 879 455 232;
  • 29) 0,386 178 879 455 232 × 2 = 0 + 0,772 357 758 910 464;
  • 30) 0,772 357 758 910 464 × 2 = 1 + 0,544 715 517 820 928;
  • 31) 0,544 715 517 820 928 × 2 = 1 + 0,089 431 035 641 856;
  • 32) 0,089 431 035 641 856 × 2 = 0 + 0,178 862 071 283 712;
  • 33) 0,178 862 071 283 712 × 2 = 0 + 0,357 724 142 567 424;
  • 34) 0,357 724 142 567 424 × 2 = 0 + 0,715 448 285 134 848;
  • 35) 0,715 448 285 134 848 × 2 = 1 + 0,430 896 570 269 696;
  • 36) 0,430 896 570 269 696 × 2 = 0 + 0,861 793 140 539 392;
  • 37) 0,861 793 140 539 392 × 2 = 1 + 0,723 586 281 078 784;
  • 38) 0,723 586 281 078 784 × 2 = 1 + 0,447 172 562 157 568;
  • 39) 0,447 172 562 157 568 × 2 = 0 + 0,894 345 124 315 136;
  • 40) 0,894 345 124 315 136 × 2 = 1 + 0,788 690 248 630 272;
  • 41) 0,788 690 248 630 272 × 2 = 1 + 0,577 380 497 260 544;
  • 42) 0,577 380 497 260 544 × 2 = 1 + 0,154 760 994 521 088;
  • 43) 0,154 760 994 521 088 × 2 = 0 + 0,309 521 989 042 176;
  • 44) 0,309 521 989 042 176 × 2 = 0 + 0,619 043 978 084 352;
  • 45) 0,619 043 978 084 352 × 2 = 1 + 0,238 087 956 168 704;
  • 46) 0,238 087 956 168 704 × 2 = 0 + 0,476 175 912 337 408;
  • 47) 0,476 175 912 337 408 × 2 = 0 + 0,952 351 824 674 816;
  • 48) 0,952 351 824 674 816 × 2 = 1 + 0,904 703 649 349 632;
  • 49) 0,904 703 649 349 632 × 2 = 1 + 0,809 407 298 699 264;
  • 50) 0,809 407 298 699 264 × 2 = 1 + 0,618 814 597 398 528;
  • 51) 0,618 814 597 398 528 × 2 = 1 + 0,237 629 194 797 056;
  • 52) 0,237 629 194 797 056 × 2 = 0 + 0,475 258 389 594 112;
  • 53) 0,475 258 389 594 112 × 2 = 0 + 0,950 516 779 188 224;
  • 54) 0,950 516 779 188 224 × 2 = 1 + 0,901 033 558 376 448;
  • 55) 0,901 033 558 376 448 × 2 = 1 + 0,802 067 116 752 896;
  • 56) 0,802 067 116 752 896 × 2 = 1 + 0,604 134 233 505 792;
  • 57) 0,604 134 233 505 792 × 2 = 1 + 0,208 268 467 011 584;
  • 58) 0,208 268 467 011 584 × 2 = 0 + 0,416 536 934 023 168;
  • 59) 0,416 536 934 023 168 × 2 = 0 + 0,833 073 868 046 336;
  • 60) 0,833 073 868 046 336 × 2 = 1 + 0,666 147 736 092 672;
  • 61) 0,666 147 736 092 672 × 2 = 1 + 0,332 295 472 185 344;
  • 62) 0,332 295 472 185 344 × 2 = 0 + 0,664 590 944 370 688;
  • 63) 0,664 590 944 370 688 × 2 = 1 + 0,329 181 888 741 376;
  • 64) 0,329 181 888 741 376 × 2 = 0 + 0,658 363 777 482 752;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 222(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 222(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 222(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 222 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1001 1110 0111 1001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 286 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100