-0,000 282 005 914 266 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 266(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 266(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 266| = 0,000 282 005 914 266


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 266.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 266 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 532;
  • 2) 0,000 564 011 828 532 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 064;
  • 3) 0,001 128 023 657 064 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 128;
  • 4) 0,002 256 047 314 128 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 256;
  • 5) 0,004 512 094 628 256 × 2 = 0 + 0,009 024 189 256 512;
  • 6) 0,009 024 189 256 512 × 2 = 0 + 0,018 048 378 513 024;
  • 7) 0,018 048 378 513 024 × 2 = 0 + 0,036 096 757 026 048;
  • 8) 0,036 096 757 026 048 × 2 = 0 + 0,072 193 514 052 096;
  • 9) 0,072 193 514 052 096 × 2 = 0 + 0,144 387 028 104 192;
  • 10) 0,144 387 028 104 192 × 2 = 0 + 0,288 774 056 208 384;
  • 11) 0,288 774 056 208 384 × 2 = 0 + 0,577 548 112 416 768;
  • 12) 0,577 548 112 416 768 × 2 = 1 + 0,155 096 224 833 536;
  • 13) 0,155 096 224 833 536 × 2 = 0 + 0,310 192 449 667 072;
  • 14) 0,310 192 449 667 072 × 2 = 0 + 0,620 384 899 334 144;
  • 15) 0,620 384 899 334 144 × 2 = 1 + 0,240 769 798 668 288;
  • 16) 0,240 769 798 668 288 × 2 = 0 + 0,481 539 597 336 576;
  • 17) 0,481 539 597 336 576 × 2 = 0 + 0,963 079 194 673 152;
  • 18) 0,963 079 194 673 152 × 2 = 1 + 0,926 158 389 346 304;
  • 19) 0,926 158 389 346 304 × 2 = 1 + 0,852 316 778 692 608;
  • 20) 0,852 316 778 692 608 × 2 = 1 + 0,704 633 557 385 216;
  • 21) 0,704 633 557 385 216 × 2 = 1 + 0,409 267 114 770 432;
  • 22) 0,409 267 114 770 432 × 2 = 0 + 0,818 534 229 540 864;
  • 23) 0,818 534 229 540 864 × 2 = 1 + 0,637 068 459 081 728;
  • 24) 0,637 068 459 081 728 × 2 = 1 + 0,274 136 918 163 456;
  • 25) 0,274 136 918 163 456 × 2 = 0 + 0,548 273 836 326 912;
  • 26) 0,548 273 836 326 912 × 2 = 1 + 0,096 547 672 653 824;
  • 27) 0,096 547 672 653 824 × 2 = 0 + 0,193 095 345 307 648;
  • 28) 0,193 095 345 307 648 × 2 = 0 + 0,386 190 690 615 296;
  • 29) 0,386 190 690 615 296 × 2 = 0 + 0,772 381 381 230 592;
  • 30) 0,772 381 381 230 592 × 2 = 1 + 0,544 762 762 461 184;
  • 31) 0,544 762 762 461 184 × 2 = 1 + 0,089 525 524 922 368;
  • 32) 0,089 525 524 922 368 × 2 = 0 + 0,179 051 049 844 736;
  • 33) 0,179 051 049 844 736 × 2 = 0 + 0,358 102 099 689 472;
  • 34) 0,358 102 099 689 472 × 2 = 0 + 0,716 204 199 378 944;
  • 35) 0,716 204 199 378 944 × 2 = 1 + 0,432 408 398 757 888;
  • 36) 0,432 408 398 757 888 × 2 = 0 + 0,864 816 797 515 776;
  • 37) 0,864 816 797 515 776 × 2 = 1 + 0,729 633 595 031 552;
  • 38) 0,729 633 595 031 552 × 2 = 1 + 0,459 267 190 063 104;
  • 39) 0,459 267 190 063 104 × 2 = 0 + 0,918 534 380 126 208;
  • 40) 0,918 534 380 126 208 × 2 = 1 + 0,837 068 760 252 416;
  • 41) 0,837 068 760 252 416 × 2 = 1 + 0,674 137 520 504 832;
  • 42) 0,674 137 520 504 832 × 2 = 1 + 0,348 275 041 009 664;
  • 43) 0,348 275 041 009 664 × 2 = 0 + 0,696 550 082 019 328;
  • 44) 0,696 550 082 019 328 × 2 = 1 + 0,393 100 164 038 656;
  • 45) 0,393 100 164 038 656 × 2 = 0 + 0,786 200 328 077 312;
  • 46) 0,786 200 328 077 312 × 2 = 1 + 0,572 400 656 154 624;
  • 47) 0,572 400 656 154 624 × 2 = 1 + 0,144 801 312 309 248;
  • 48) 0,144 801 312 309 248 × 2 = 0 + 0,289 602 624 618 496;
  • 49) 0,289 602 624 618 496 × 2 = 0 + 0,579 205 249 236 992;
  • 50) 0,579 205 249 236 992 × 2 = 1 + 0,158 410 498 473 984;
  • 51) 0,158 410 498 473 984 × 2 = 0 + 0,316 820 996 947 968;
  • 52) 0,316 820 996 947 968 × 2 = 0 + 0,633 641 993 895 936;
  • 53) 0,633 641 993 895 936 × 2 = 1 + 0,267 283 987 791 872;
  • 54) 0,267 283 987 791 872 × 2 = 0 + 0,534 567 975 583 744;
  • 55) 0,534 567 975 583 744 × 2 = 1 + 0,069 135 951 167 488;
  • 56) 0,069 135 951 167 488 × 2 = 0 + 0,138 271 902 334 976;
  • 57) 0,138 271 902 334 976 × 2 = 0 + 0,276 543 804 669 952;
  • 58) 0,276 543 804 669 952 × 2 = 0 + 0,553 087 609 339 904;
  • 59) 0,553 087 609 339 904 × 2 = 1 + 0,106 175 218 679 808;
  • 60) 0,106 175 218 679 808 × 2 = 0 + 0,212 350 437 359 616;
  • 61) 0,212 350 437 359 616 × 2 = 0 + 0,424 700 874 719 232;
  • 62) 0,424 700 874 719 232 × 2 = 0 + 0,849 401 749 438 464;
  • 63) 0,849 401 749 438 464 × 2 = 1 + 0,698 803 498 876 928;
  • 64) 0,698 803 498 876 928 × 2 = 1 + 0,397 606 997 753 856;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 266(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 266(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 266(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 266 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0110 0100 1010 0010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 299 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100