-0,000 282 005 914 292 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 292(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 292(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 292| = 0,000 282 005 914 292


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 292.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 292 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 584;
  • 2) 0,000 564 011 828 584 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 168;
  • 3) 0,001 128 023 657 168 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 336;
  • 4) 0,002 256 047 314 336 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 672;
  • 5) 0,004 512 094 628 672 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 344;
  • 6) 0,009 024 189 257 344 × 2 = 0 + 0,018 048 378 514 688;
  • 7) 0,018 048 378 514 688 × 2 = 0 + 0,036 096 757 029 376;
  • 8) 0,036 096 757 029 376 × 2 = 0 + 0,072 193 514 058 752;
  • 9) 0,072 193 514 058 752 × 2 = 0 + 0,144 387 028 117 504;
  • 10) 0,144 387 028 117 504 × 2 = 0 + 0,288 774 056 235 008;
  • 11) 0,288 774 056 235 008 × 2 = 0 + 0,577 548 112 470 016;
  • 12) 0,577 548 112 470 016 × 2 = 1 + 0,155 096 224 940 032;
  • 13) 0,155 096 224 940 032 × 2 = 0 + 0,310 192 449 880 064;
  • 14) 0,310 192 449 880 064 × 2 = 0 + 0,620 384 899 760 128;
  • 15) 0,620 384 899 760 128 × 2 = 1 + 0,240 769 799 520 256;
  • 16) 0,240 769 799 520 256 × 2 = 0 + 0,481 539 599 040 512;
  • 17) 0,481 539 599 040 512 × 2 = 0 + 0,963 079 198 081 024;
  • 18) 0,963 079 198 081 024 × 2 = 1 + 0,926 158 396 162 048;
  • 19) 0,926 158 396 162 048 × 2 = 1 + 0,852 316 792 324 096;
  • 20) 0,852 316 792 324 096 × 2 = 1 + 0,704 633 584 648 192;
  • 21) 0,704 633 584 648 192 × 2 = 1 + 0,409 267 169 296 384;
  • 22) 0,409 267 169 296 384 × 2 = 0 + 0,818 534 338 592 768;
  • 23) 0,818 534 338 592 768 × 2 = 1 + 0,637 068 677 185 536;
  • 24) 0,637 068 677 185 536 × 2 = 1 + 0,274 137 354 371 072;
  • 25) 0,274 137 354 371 072 × 2 = 0 + 0,548 274 708 742 144;
  • 26) 0,548 274 708 742 144 × 2 = 1 + 0,096 549 417 484 288;
  • 27) 0,096 549 417 484 288 × 2 = 0 + 0,193 098 834 968 576;
  • 28) 0,193 098 834 968 576 × 2 = 0 + 0,386 197 669 937 152;
  • 29) 0,386 197 669 937 152 × 2 = 0 + 0,772 395 339 874 304;
  • 30) 0,772 395 339 874 304 × 2 = 1 + 0,544 790 679 748 608;
  • 31) 0,544 790 679 748 608 × 2 = 1 + 0,089 581 359 497 216;
  • 32) 0,089 581 359 497 216 × 2 = 0 + 0,179 162 718 994 432;
  • 33) 0,179 162 718 994 432 × 2 = 0 + 0,358 325 437 988 864;
  • 34) 0,358 325 437 988 864 × 2 = 0 + 0,716 650 875 977 728;
  • 35) 0,716 650 875 977 728 × 2 = 1 + 0,433 301 751 955 456;
  • 36) 0,433 301 751 955 456 × 2 = 0 + 0,866 603 503 910 912;
  • 37) 0,866 603 503 910 912 × 2 = 1 + 0,733 207 007 821 824;
  • 38) 0,733 207 007 821 824 × 2 = 1 + 0,466 414 015 643 648;
  • 39) 0,466 414 015 643 648 × 2 = 0 + 0,932 828 031 287 296;
  • 40) 0,932 828 031 287 296 × 2 = 1 + 0,865 656 062 574 592;
  • 41) 0,865 656 062 574 592 × 2 = 1 + 0,731 312 125 149 184;
  • 42) 0,731 312 125 149 184 × 2 = 1 + 0,462 624 250 298 368;
  • 43) 0,462 624 250 298 368 × 2 = 0 + 0,925 248 500 596 736;
  • 44) 0,925 248 500 596 736 × 2 = 1 + 0,850 497 001 193 472;
  • 45) 0,850 497 001 193 472 × 2 = 1 + 0,700 994 002 386 944;
  • 46) 0,700 994 002 386 944 × 2 = 1 + 0,401 988 004 773 888;
  • 47) 0,401 988 004 773 888 × 2 = 0 + 0,803 976 009 547 776;
  • 48) 0,803 976 009 547 776 × 2 = 1 + 0,607 952 019 095 552;
  • 49) 0,607 952 019 095 552 × 2 = 1 + 0,215 904 038 191 104;
  • 50) 0,215 904 038 191 104 × 2 = 0 + 0,431 808 076 382 208;
  • 51) 0,431 808 076 382 208 × 2 = 0 + 0,863 616 152 764 416;
  • 52) 0,863 616 152 764 416 × 2 = 1 + 0,727 232 305 528 832;
  • 53) 0,727 232 305 528 832 × 2 = 1 + 0,454 464 611 057 664;
  • 54) 0,454 464 611 057 664 × 2 = 0 + 0,908 929 222 115 328;
  • 55) 0,908 929 222 115 328 × 2 = 1 + 0,817 858 444 230 656;
  • 56) 0,817 858 444 230 656 × 2 = 1 + 0,635 716 888 461 312;
  • 57) 0,635 716 888 461 312 × 2 = 1 + 0,271 433 776 922 624;
  • 58) 0,271 433 776 922 624 × 2 = 0 + 0,542 867 553 845 248;
  • 59) 0,542 867 553 845 248 × 2 = 1 + 0,085 735 107 690 496;
  • 60) 0,085 735 107 690 496 × 2 = 0 + 0,171 470 215 380 992;
  • 61) 0,171 470 215 380 992 × 2 = 0 + 0,342 940 430 761 984;
  • 62) 0,342 940 430 761 984 × 2 = 0 + 0,685 880 861 523 968;
  • 63) 0,685 880 861 523 968 × 2 = 1 + 0,371 761 723 047 936;
  • 64) 0,371 761 723 047 936 × 2 = 0 + 0,743 523 446 095 872;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 292(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 292(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 292(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 292 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1101 1001 1011 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 262 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100