-0,000 282 005 914 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 3| = 0,000 282 005 914 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 6;
  • 2) 0,000 564 011 828 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 2;
  • 3) 0,001 128 023 657 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 4;
  • 4) 0,002 256 047 314 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 8;
  • 5) 0,004 512 094 628 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 6;
  • 6) 0,009 024 189 257 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 515 2;
  • 7) 0,018 048 378 515 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 030 4;
  • 8) 0,036 096 757 030 4 × 2 = 0 + 0,072 193 514 060 8;
  • 9) 0,072 193 514 060 8 × 2 = 0 + 0,144 387 028 121 6;
  • 10) 0,144 387 028 121 6 × 2 = 0 + 0,288 774 056 243 2;
  • 11) 0,288 774 056 243 2 × 2 = 0 + 0,577 548 112 486 4;
  • 12) 0,577 548 112 486 4 × 2 = 1 + 0,155 096 224 972 8;
  • 13) 0,155 096 224 972 8 × 2 = 0 + 0,310 192 449 945 6;
  • 14) 0,310 192 449 945 6 × 2 = 0 + 0,620 384 899 891 2;
  • 15) 0,620 384 899 891 2 × 2 = 1 + 0,240 769 799 782 4;
  • 16) 0,240 769 799 782 4 × 2 = 0 + 0,481 539 599 564 8;
  • 17) 0,481 539 599 564 8 × 2 = 0 + 0,963 079 199 129 6;
  • 18) 0,963 079 199 129 6 × 2 = 1 + 0,926 158 398 259 2;
  • 19) 0,926 158 398 259 2 × 2 = 1 + 0,852 316 796 518 4;
  • 20) 0,852 316 796 518 4 × 2 = 1 + 0,704 633 593 036 8;
  • 21) 0,704 633 593 036 8 × 2 = 1 + 0,409 267 186 073 6;
  • 22) 0,409 267 186 073 6 × 2 = 0 + 0,818 534 372 147 2;
  • 23) 0,818 534 372 147 2 × 2 = 1 + 0,637 068 744 294 4;
  • 24) 0,637 068 744 294 4 × 2 = 1 + 0,274 137 488 588 8;
  • 25) 0,274 137 488 588 8 × 2 = 0 + 0,548 274 977 177 6;
  • 26) 0,548 274 977 177 6 × 2 = 1 + 0,096 549 954 355 2;
  • 27) 0,096 549 954 355 2 × 2 = 0 + 0,193 099 908 710 4;
  • 28) 0,193 099 908 710 4 × 2 = 0 + 0,386 199 817 420 8;
  • 29) 0,386 199 817 420 8 × 2 = 0 + 0,772 399 634 841 6;
  • 30) 0,772 399 634 841 6 × 2 = 1 + 0,544 799 269 683 2;
  • 31) 0,544 799 269 683 2 × 2 = 1 + 0,089 598 539 366 4;
  • 32) 0,089 598 539 366 4 × 2 = 0 + 0,179 197 078 732 8;
  • 33) 0,179 197 078 732 8 × 2 = 0 + 0,358 394 157 465 6;
  • 34) 0,358 394 157 465 6 × 2 = 0 + 0,716 788 314 931 2;
  • 35) 0,716 788 314 931 2 × 2 = 1 + 0,433 576 629 862 4;
  • 36) 0,433 576 629 862 4 × 2 = 0 + 0,867 153 259 724 8;
  • 37) 0,867 153 259 724 8 × 2 = 1 + 0,734 306 519 449 6;
  • 38) 0,734 306 519 449 6 × 2 = 1 + 0,468 613 038 899 2;
  • 39) 0,468 613 038 899 2 × 2 = 0 + 0,937 226 077 798 4;
  • 40) 0,937 226 077 798 4 × 2 = 1 + 0,874 452 155 596 8;
  • 41) 0,874 452 155 596 8 × 2 = 1 + 0,748 904 311 193 6;
  • 42) 0,748 904 311 193 6 × 2 = 1 + 0,497 808 622 387 2;
  • 43) 0,497 808 622 387 2 × 2 = 0 + 0,995 617 244 774 4;
  • 44) 0,995 617 244 774 4 × 2 = 1 + 0,991 234 489 548 8;
  • 45) 0,991 234 489 548 8 × 2 = 1 + 0,982 468 979 097 6;
  • 46) 0,982 468 979 097 6 × 2 = 1 + 0,964 937 958 195 2;
  • 47) 0,964 937 958 195 2 × 2 = 1 + 0,929 875 916 390 4;
  • 48) 0,929 875 916 390 4 × 2 = 1 + 0,859 751 832 780 8;
  • 49) 0,859 751 832 780 8 × 2 = 1 + 0,719 503 665 561 6;
  • 50) 0,719 503 665 561 6 × 2 = 1 + 0,439 007 331 123 2;
  • 51) 0,439 007 331 123 2 × 2 = 0 + 0,878 014 662 246 4;
  • 52) 0,878 014 662 246 4 × 2 = 1 + 0,756 029 324 492 8;
  • 53) 0,756 029 324 492 8 × 2 = 1 + 0,512 058 648 985 6;
  • 54) 0,512 058 648 985 6 × 2 = 1 + 0,024 117 297 971 2;
  • 55) 0,024 117 297 971 2 × 2 = 0 + 0,048 234 595 942 4;
  • 56) 0,048 234 595 942 4 × 2 = 0 + 0,096 469 191 884 8;
  • 57) 0,096 469 191 884 8 × 2 = 0 + 0,192 938 383 769 6;
  • 58) 0,192 938 383 769 6 × 2 = 0 + 0,385 876 767 539 2;
  • 59) 0,385 876 767 539 2 × 2 = 0 + 0,771 753 535 078 4;
  • 60) 0,771 753 535 078 4 × 2 = 1 + 0,543 507 070 156 8;
  • 61) 0,543 507 070 156 8 × 2 = 1 + 0,087 014 140 313 6;
  • 62) 0,087 014 140 313 6 × 2 = 0 + 0,174 028 280 627 2;
  • 63) 0,174 028 280 627 2 × 2 = 0 + 0,348 056 561 254 4;
  • 64) 0,348 056 561 254 4 × 2 = 0 + 0,696 113 122 508 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1111 1101 1100 0001 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100