-0,000 282 005 917 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 917 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 917 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 917 4| = 0,000 282 005 917 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 917 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 917 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 834 8;
  • 2) 0,000 564 011 834 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 669 6;
  • 3) 0,001 128 023 669 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 339 2;
  • 4) 0,002 256 047 339 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 678 4;
  • 5) 0,004 512 094 678 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 356 8;
  • 6) 0,009 024 189 356 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 713 6;
  • 7) 0,018 048 378 713 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 427 2;
  • 8) 0,036 096 757 427 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 854 4;
  • 9) 0,072 193 514 854 4 × 2 = 0 + 0,144 387 029 708 8;
  • 10) 0,144 387 029 708 8 × 2 = 0 + 0,288 774 059 417 6;
  • 11) 0,288 774 059 417 6 × 2 = 0 + 0,577 548 118 835 2;
  • 12) 0,577 548 118 835 2 × 2 = 1 + 0,155 096 237 670 4;
  • 13) 0,155 096 237 670 4 × 2 = 0 + 0,310 192 475 340 8;
  • 14) 0,310 192 475 340 8 × 2 = 0 + 0,620 384 950 681 6;
  • 15) 0,620 384 950 681 6 × 2 = 1 + 0,240 769 901 363 2;
  • 16) 0,240 769 901 363 2 × 2 = 0 + 0,481 539 802 726 4;
  • 17) 0,481 539 802 726 4 × 2 = 0 + 0,963 079 605 452 8;
  • 18) 0,963 079 605 452 8 × 2 = 1 + 0,926 159 210 905 6;
  • 19) 0,926 159 210 905 6 × 2 = 1 + 0,852 318 421 811 2;
  • 20) 0,852 318 421 811 2 × 2 = 1 + 0,704 636 843 622 4;
  • 21) 0,704 636 843 622 4 × 2 = 1 + 0,409 273 687 244 8;
  • 22) 0,409 273 687 244 8 × 2 = 0 + 0,818 547 374 489 6;
  • 23) 0,818 547 374 489 6 × 2 = 1 + 0,637 094 748 979 2;
  • 24) 0,637 094 748 979 2 × 2 = 1 + 0,274 189 497 958 4;
  • 25) 0,274 189 497 958 4 × 2 = 0 + 0,548 378 995 916 8;
  • 26) 0,548 378 995 916 8 × 2 = 1 + 0,096 757 991 833 6;
  • 27) 0,096 757 991 833 6 × 2 = 0 + 0,193 515 983 667 2;
  • 28) 0,193 515 983 667 2 × 2 = 0 + 0,387 031 967 334 4;
  • 29) 0,387 031 967 334 4 × 2 = 0 + 0,774 063 934 668 8;
  • 30) 0,774 063 934 668 8 × 2 = 1 + 0,548 127 869 337 6;
  • 31) 0,548 127 869 337 6 × 2 = 1 + 0,096 255 738 675 2;
  • 32) 0,096 255 738 675 2 × 2 = 0 + 0,192 511 477 350 4;
  • 33) 0,192 511 477 350 4 × 2 = 0 + 0,385 022 954 700 8;
  • 34) 0,385 022 954 700 8 × 2 = 0 + 0,770 045 909 401 6;
  • 35) 0,770 045 909 401 6 × 2 = 1 + 0,540 091 818 803 2;
  • 36) 0,540 091 818 803 2 × 2 = 1 + 0,080 183 637 606 4;
  • 37) 0,080 183 637 606 4 × 2 = 0 + 0,160 367 275 212 8;
  • 38) 0,160 367 275 212 8 × 2 = 0 + 0,320 734 550 425 6;
  • 39) 0,320 734 550 425 6 × 2 = 0 + 0,641 469 100 851 2;
  • 40) 0,641 469 100 851 2 × 2 = 1 + 0,282 938 201 702 4;
  • 41) 0,282 938 201 702 4 × 2 = 0 + 0,565 876 403 404 8;
  • 42) 0,565 876 403 404 8 × 2 = 1 + 0,131 752 806 809 6;
  • 43) 0,131 752 806 809 6 × 2 = 0 + 0,263 505 613 619 2;
  • 44) 0,263 505 613 619 2 × 2 = 0 + 0,527 011 227 238 4;
  • 45) 0,527 011 227 238 4 × 2 = 1 + 0,054 022 454 476 8;
  • 46) 0,054 022 454 476 8 × 2 = 0 + 0,108 044 908 953 6;
  • 47) 0,108 044 908 953 6 × 2 = 0 + 0,216 089 817 907 2;
  • 48) 0,216 089 817 907 2 × 2 = 0 + 0,432 179 635 814 4;
  • 49) 0,432 179 635 814 4 × 2 = 0 + 0,864 359 271 628 8;
  • 50) 0,864 359 271 628 8 × 2 = 1 + 0,728 718 543 257 6;
  • 51) 0,728 718 543 257 6 × 2 = 1 + 0,457 437 086 515 2;
  • 52) 0,457 437 086 515 2 × 2 = 0 + 0,914 874 173 030 4;
  • 53) 0,914 874 173 030 4 × 2 = 1 + 0,829 748 346 060 8;
  • 54) 0,829 748 346 060 8 × 2 = 1 + 0,659 496 692 121 6;
  • 55) 0,659 496 692 121 6 × 2 = 1 + 0,318 993 384 243 2;
  • 56) 0,318 993 384 243 2 × 2 = 0 + 0,637 986 768 486 4;
  • 57) 0,637 986 768 486 4 × 2 = 1 + 0,275 973 536 972 8;
  • 58) 0,275 973 536 972 8 × 2 = 0 + 0,551 947 073 945 6;
  • 59) 0,551 947 073 945 6 × 2 = 1 + 0,103 894 147 891 2;
  • 60) 0,103 894 147 891 2 × 2 = 0 + 0,207 788 295 782 4;
  • 61) 0,207 788 295 782 4 × 2 = 0 + 0,415 576 591 564 8;
  • 62) 0,415 576 591 564 8 × 2 = 0 + 0,831 153 183 129 6;
  • 63) 0,831 153 183 129 6 × 2 = 1 + 0,662 306 366 259 2;
  • 64) 0,662 306 366 259 2 × 2 = 1 + 0,324 612 732 518 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 917 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 917 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 917 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 917 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0100 1000 0110 1110 1010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100