-0,000 282 005 914 31 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 31(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 31(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 31| = 0,000 282 005 914 31


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 31.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 31 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 62;
  • 2) 0,000 564 011 828 62 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 24;
  • 3) 0,001 128 023 657 24 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 48;
  • 4) 0,002 256 047 314 48 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 96;
  • 5) 0,004 512 094 628 96 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 92;
  • 6) 0,009 024 189 257 92 × 2 = 0 + 0,018 048 378 515 84;
  • 7) 0,018 048 378 515 84 × 2 = 0 + 0,036 096 757 031 68;
  • 8) 0,036 096 757 031 68 × 2 = 0 + 0,072 193 514 063 36;
  • 9) 0,072 193 514 063 36 × 2 = 0 + 0,144 387 028 126 72;
  • 10) 0,144 387 028 126 72 × 2 = 0 + 0,288 774 056 253 44;
  • 11) 0,288 774 056 253 44 × 2 = 0 + 0,577 548 112 506 88;
  • 12) 0,577 548 112 506 88 × 2 = 1 + 0,155 096 225 013 76;
  • 13) 0,155 096 225 013 76 × 2 = 0 + 0,310 192 450 027 52;
  • 14) 0,310 192 450 027 52 × 2 = 0 + 0,620 384 900 055 04;
  • 15) 0,620 384 900 055 04 × 2 = 1 + 0,240 769 800 110 08;
  • 16) 0,240 769 800 110 08 × 2 = 0 + 0,481 539 600 220 16;
  • 17) 0,481 539 600 220 16 × 2 = 0 + 0,963 079 200 440 32;
  • 18) 0,963 079 200 440 32 × 2 = 1 + 0,926 158 400 880 64;
  • 19) 0,926 158 400 880 64 × 2 = 1 + 0,852 316 801 761 28;
  • 20) 0,852 316 801 761 28 × 2 = 1 + 0,704 633 603 522 56;
  • 21) 0,704 633 603 522 56 × 2 = 1 + 0,409 267 207 045 12;
  • 22) 0,409 267 207 045 12 × 2 = 0 + 0,818 534 414 090 24;
  • 23) 0,818 534 414 090 24 × 2 = 1 + 0,637 068 828 180 48;
  • 24) 0,637 068 828 180 48 × 2 = 1 + 0,274 137 656 360 96;
  • 25) 0,274 137 656 360 96 × 2 = 0 + 0,548 275 312 721 92;
  • 26) 0,548 275 312 721 92 × 2 = 1 + 0,096 550 625 443 84;
  • 27) 0,096 550 625 443 84 × 2 = 0 + 0,193 101 250 887 68;
  • 28) 0,193 101 250 887 68 × 2 = 0 + 0,386 202 501 775 36;
  • 29) 0,386 202 501 775 36 × 2 = 0 + 0,772 405 003 550 72;
  • 30) 0,772 405 003 550 72 × 2 = 1 + 0,544 810 007 101 44;
  • 31) 0,544 810 007 101 44 × 2 = 1 + 0,089 620 014 202 88;
  • 32) 0,089 620 014 202 88 × 2 = 0 + 0,179 240 028 405 76;
  • 33) 0,179 240 028 405 76 × 2 = 0 + 0,358 480 056 811 52;
  • 34) 0,358 480 056 811 52 × 2 = 0 + 0,716 960 113 623 04;
  • 35) 0,716 960 113 623 04 × 2 = 1 + 0,433 920 227 246 08;
  • 36) 0,433 920 227 246 08 × 2 = 0 + 0,867 840 454 492 16;
  • 37) 0,867 840 454 492 16 × 2 = 1 + 0,735 680 908 984 32;
  • 38) 0,735 680 908 984 32 × 2 = 1 + 0,471 361 817 968 64;
  • 39) 0,471 361 817 968 64 × 2 = 0 + 0,942 723 635 937 28;
  • 40) 0,942 723 635 937 28 × 2 = 1 + 0,885 447 271 874 56;
  • 41) 0,885 447 271 874 56 × 2 = 1 + 0,770 894 543 749 12;
  • 42) 0,770 894 543 749 12 × 2 = 1 + 0,541 789 087 498 24;
  • 43) 0,541 789 087 498 24 × 2 = 1 + 0,083 578 174 996 48;
  • 44) 0,083 578 174 996 48 × 2 = 0 + 0,167 156 349 992 96;
  • 45) 0,167 156 349 992 96 × 2 = 0 + 0,334 312 699 985 92;
  • 46) 0,334 312 699 985 92 × 2 = 0 + 0,668 625 399 971 84;
  • 47) 0,668 625 399 971 84 × 2 = 1 + 0,337 250 799 943 68;
  • 48) 0,337 250 799 943 68 × 2 = 0 + 0,674 501 599 887 36;
  • 49) 0,674 501 599 887 36 × 2 = 1 + 0,349 003 199 774 72;
  • 50) 0,349 003 199 774 72 × 2 = 0 + 0,698 006 399 549 44;
  • 51) 0,698 006 399 549 44 × 2 = 1 + 0,396 012 799 098 88;
  • 52) 0,396 012 799 098 88 × 2 = 0 + 0,792 025 598 197 76;
  • 53) 0,792 025 598 197 76 × 2 = 1 + 0,584 051 196 395 52;
  • 54) 0,584 051 196 395 52 × 2 = 1 + 0,168 102 392 791 04;
  • 55) 0,168 102 392 791 04 × 2 = 0 + 0,336 204 785 582 08;
  • 56) 0,336 204 785 582 08 × 2 = 0 + 0,672 409 571 164 16;
  • 57) 0,672 409 571 164 16 × 2 = 1 + 0,344 819 142 328 32;
  • 58) 0,344 819 142 328 32 × 2 = 0 + 0,689 638 284 656 64;
  • 59) 0,689 638 284 656 64 × 2 = 1 + 0,379 276 569 313 28;
  • 60) 0,379 276 569 313 28 × 2 = 0 + 0,758 553 138 626 56;
  • 61) 0,758 553 138 626 56 × 2 = 1 + 0,517 106 277 253 12;
  • 62) 0,517 106 277 253 12 × 2 = 1 + 0,034 212 554 506 24;
  • 63) 0,034 212 554 506 24 × 2 = 0 + 0,068 425 109 012 48;
  • 64) 0,068 425 109 012 48 × 2 = 0 + 0,136 850 218 024 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 31 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 1010 1100 1010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100