-0,000 282 005 914 33 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 33(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 33(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 33| = 0,000 282 005 914 33


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 33.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 33 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 66;
  • 2) 0,000 564 011 828 66 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 32;
  • 3) 0,001 128 023 657 32 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 64;
  • 4) 0,002 256 047 314 64 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 28;
  • 5) 0,004 512 094 629 28 × 2 = 0 + 0,009 024 189 258 56;
  • 6) 0,009 024 189 258 56 × 2 = 0 + 0,018 048 378 517 12;
  • 7) 0,018 048 378 517 12 × 2 = 0 + 0,036 096 757 034 24;
  • 8) 0,036 096 757 034 24 × 2 = 0 + 0,072 193 514 068 48;
  • 9) 0,072 193 514 068 48 × 2 = 0 + 0,144 387 028 136 96;
  • 10) 0,144 387 028 136 96 × 2 = 0 + 0,288 774 056 273 92;
  • 11) 0,288 774 056 273 92 × 2 = 0 + 0,577 548 112 547 84;
  • 12) 0,577 548 112 547 84 × 2 = 1 + 0,155 096 225 095 68;
  • 13) 0,155 096 225 095 68 × 2 = 0 + 0,310 192 450 191 36;
  • 14) 0,310 192 450 191 36 × 2 = 0 + 0,620 384 900 382 72;
  • 15) 0,620 384 900 382 72 × 2 = 1 + 0,240 769 800 765 44;
  • 16) 0,240 769 800 765 44 × 2 = 0 + 0,481 539 601 530 88;
  • 17) 0,481 539 601 530 88 × 2 = 0 + 0,963 079 203 061 76;
  • 18) 0,963 079 203 061 76 × 2 = 1 + 0,926 158 406 123 52;
  • 19) 0,926 158 406 123 52 × 2 = 1 + 0,852 316 812 247 04;
  • 20) 0,852 316 812 247 04 × 2 = 1 + 0,704 633 624 494 08;
  • 21) 0,704 633 624 494 08 × 2 = 1 + 0,409 267 248 988 16;
  • 22) 0,409 267 248 988 16 × 2 = 0 + 0,818 534 497 976 32;
  • 23) 0,818 534 497 976 32 × 2 = 1 + 0,637 068 995 952 64;
  • 24) 0,637 068 995 952 64 × 2 = 1 + 0,274 137 991 905 28;
  • 25) 0,274 137 991 905 28 × 2 = 0 + 0,548 275 983 810 56;
  • 26) 0,548 275 983 810 56 × 2 = 1 + 0,096 551 967 621 12;
  • 27) 0,096 551 967 621 12 × 2 = 0 + 0,193 103 935 242 24;
  • 28) 0,193 103 935 242 24 × 2 = 0 + 0,386 207 870 484 48;
  • 29) 0,386 207 870 484 48 × 2 = 0 + 0,772 415 740 968 96;
  • 30) 0,772 415 740 968 96 × 2 = 1 + 0,544 831 481 937 92;
  • 31) 0,544 831 481 937 92 × 2 = 1 + 0,089 662 963 875 84;
  • 32) 0,089 662 963 875 84 × 2 = 0 + 0,179 325 927 751 68;
  • 33) 0,179 325 927 751 68 × 2 = 0 + 0,358 651 855 503 36;
  • 34) 0,358 651 855 503 36 × 2 = 0 + 0,717 303 711 006 72;
  • 35) 0,717 303 711 006 72 × 2 = 1 + 0,434 607 422 013 44;
  • 36) 0,434 607 422 013 44 × 2 = 0 + 0,869 214 844 026 88;
  • 37) 0,869 214 844 026 88 × 2 = 1 + 0,738 429 688 053 76;
  • 38) 0,738 429 688 053 76 × 2 = 1 + 0,476 859 376 107 52;
  • 39) 0,476 859 376 107 52 × 2 = 0 + 0,953 718 752 215 04;
  • 40) 0,953 718 752 215 04 × 2 = 1 + 0,907 437 504 430 08;
  • 41) 0,907 437 504 430 08 × 2 = 1 + 0,814 875 008 860 16;
  • 42) 0,814 875 008 860 16 × 2 = 1 + 0,629 750 017 720 32;
  • 43) 0,629 750 017 720 32 × 2 = 1 + 0,259 500 035 440 64;
  • 44) 0,259 500 035 440 64 × 2 = 0 + 0,519 000 070 881 28;
  • 45) 0,519 000 070 881 28 × 2 = 1 + 0,038 000 141 762 56;
  • 46) 0,038 000 141 762 56 × 2 = 0 + 0,076 000 283 525 12;
  • 47) 0,076 000 283 525 12 × 2 = 0 + 0,152 000 567 050 24;
  • 48) 0,152 000 567 050 24 × 2 = 0 + 0,304 001 134 100 48;
  • 49) 0,304 001 134 100 48 × 2 = 0 + 0,608 002 268 200 96;
  • 50) 0,608 002 268 200 96 × 2 = 1 + 0,216 004 536 401 92;
  • 51) 0,216 004 536 401 92 × 2 = 0 + 0,432 009 072 803 84;
  • 52) 0,432 009 072 803 84 × 2 = 0 + 0,864 018 145 607 68;
  • 53) 0,864 018 145 607 68 × 2 = 1 + 0,728 036 291 215 36;
  • 54) 0,728 036 291 215 36 × 2 = 1 + 0,456 072 582 430 72;
  • 55) 0,456 072 582 430 72 × 2 = 0 + 0,912 145 164 861 44;
  • 56) 0,912 145 164 861 44 × 2 = 1 + 0,824 290 329 722 88;
  • 57) 0,824 290 329 722 88 × 2 = 1 + 0,648 580 659 445 76;
  • 58) 0,648 580 659 445 76 × 2 = 1 + 0,297 161 318 891 52;
  • 59) 0,297 161 318 891 52 × 2 = 0 + 0,594 322 637 783 04;
  • 60) 0,594 322 637 783 04 × 2 = 1 + 0,188 645 275 566 08;
  • 61) 0,188 645 275 566 08 × 2 = 0 + 0,377 290 551 132 16;
  • 62) 0,377 290 551 132 16 × 2 = 0 + 0,754 581 102 264 32;
  • 63) 0,754 581 102 264 32 × 2 = 1 + 0,509 162 204 528 64;
  • 64) 0,509 162 204 528 64 × 2 = 1 + 0,018 324 409 057 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 33 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1000 0100 1101 1101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 65 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100