-0,000 282 005 914 345 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 345(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 345(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 345| = 0,000 282 005 914 345


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 345.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 345 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 69;
  • 2) 0,000 564 011 828 69 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 38;
  • 3) 0,001 128 023 657 38 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 76;
  • 4) 0,002 256 047 314 76 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 52;
  • 5) 0,004 512 094 629 52 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 04;
  • 6) 0,009 024 189 259 04 × 2 = 0 + 0,018 048 378 518 08;
  • 7) 0,018 048 378 518 08 × 2 = 0 + 0,036 096 757 036 16;
  • 8) 0,036 096 757 036 16 × 2 = 0 + 0,072 193 514 072 32;
  • 9) 0,072 193 514 072 32 × 2 = 0 + 0,144 387 028 144 64;
  • 10) 0,144 387 028 144 64 × 2 = 0 + 0,288 774 056 289 28;
  • 11) 0,288 774 056 289 28 × 2 = 0 + 0,577 548 112 578 56;
  • 12) 0,577 548 112 578 56 × 2 = 1 + 0,155 096 225 157 12;
  • 13) 0,155 096 225 157 12 × 2 = 0 + 0,310 192 450 314 24;
  • 14) 0,310 192 450 314 24 × 2 = 0 + 0,620 384 900 628 48;
  • 15) 0,620 384 900 628 48 × 2 = 1 + 0,240 769 801 256 96;
  • 16) 0,240 769 801 256 96 × 2 = 0 + 0,481 539 602 513 92;
  • 17) 0,481 539 602 513 92 × 2 = 0 + 0,963 079 205 027 84;
  • 18) 0,963 079 205 027 84 × 2 = 1 + 0,926 158 410 055 68;
  • 19) 0,926 158 410 055 68 × 2 = 1 + 0,852 316 820 111 36;
  • 20) 0,852 316 820 111 36 × 2 = 1 + 0,704 633 640 222 72;
  • 21) 0,704 633 640 222 72 × 2 = 1 + 0,409 267 280 445 44;
  • 22) 0,409 267 280 445 44 × 2 = 0 + 0,818 534 560 890 88;
  • 23) 0,818 534 560 890 88 × 2 = 1 + 0,637 069 121 781 76;
  • 24) 0,637 069 121 781 76 × 2 = 1 + 0,274 138 243 563 52;
  • 25) 0,274 138 243 563 52 × 2 = 0 + 0,548 276 487 127 04;
  • 26) 0,548 276 487 127 04 × 2 = 1 + 0,096 552 974 254 08;
  • 27) 0,096 552 974 254 08 × 2 = 0 + 0,193 105 948 508 16;
  • 28) 0,193 105 948 508 16 × 2 = 0 + 0,386 211 897 016 32;
  • 29) 0,386 211 897 016 32 × 2 = 0 + 0,772 423 794 032 64;
  • 30) 0,772 423 794 032 64 × 2 = 1 + 0,544 847 588 065 28;
  • 31) 0,544 847 588 065 28 × 2 = 1 + 0,089 695 176 130 56;
  • 32) 0,089 695 176 130 56 × 2 = 0 + 0,179 390 352 261 12;
  • 33) 0,179 390 352 261 12 × 2 = 0 + 0,358 780 704 522 24;
  • 34) 0,358 780 704 522 24 × 2 = 0 + 0,717 561 409 044 48;
  • 35) 0,717 561 409 044 48 × 2 = 1 + 0,435 122 818 088 96;
  • 36) 0,435 122 818 088 96 × 2 = 0 + 0,870 245 636 177 92;
  • 37) 0,870 245 636 177 92 × 2 = 1 + 0,740 491 272 355 84;
  • 38) 0,740 491 272 355 84 × 2 = 1 + 0,480 982 544 711 68;
  • 39) 0,480 982 544 711 68 × 2 = 0 + 0,961 965 089 423 36;
  • 40) 0,961 965 089 423 36 × 2 = 1 + 0,923 930 178 846 72;
  • 41) 0,923 930 178 846 72 × 2 = 1 + 0,847 860 357 693 44;
  • 42) 0,847 860 357 693 44 × 2 = 1 + 0,695 720 715 386 88;
  • 43) 0,695 720 715 386 88 × 2 = 1 + 0,391 441 430 773 76;
  • 44) 0,391 441 430 773 76 × 2 = 0 + 0,782 882 861 547 52;
  • 45) 0,782 882 861 547 52 × 2 = 1 + 0,565 765 723 095 04;
  • 46) 0,565 765 723 095 04 × 2 = 1 + 0,131 531 446 190 08;
  • 47) 0,131 531 446 190 08 × 2 = 0 + 0,263 062 892 380 16;
  • 48) 0,263 062 892 380 16 × 2 = 0 + 0,526 125 784 760 32;
  • 49) 0,526 125 784 760 32 × 2 = 1 + 0,052 251 569 520 64;
  • 50) 0,052 251 569 520 64 × 2 = 0 + 0,104 503 139 041 28;
  • 51) 0,104 503 139 041 28 × 2 = 0 + 0,209 006 278 082 56;
  • 52) 0,209 006 278 082 56 × 2 = 0 + 0,418 012 556 165 12;
  • 53) 0,418 012 556 165 12 × 2 = 0 + 0,836 025 112 330 24;
  • 54) 0,836 025 112 330 24 × 2 = 1 + 0,672 050 224 660 48;
  • 55) 0,672 050 224 660 48 × 2 = 1 + 0,344 100 449 320 96;
  • 56) 0,344 100 449 320 96 × 2 = 0 + 0,688 200 898 641 92;
  • 57) 0,688 200 898 641 92 × 2 = 1 + 0,376 401 797 283 84;
  • 58) 0,376 401 797 283 84 × 2 = 0 + 0,752 803 594 567 68;
  • 59) 0,752 803 594 567 68 × 2 = 1 + 0,505 607 189 135 36;
  • 60) 0,505 607 189 135 36 × 2 = 1 + 0,011 214 378 270 72;
  • 61) 0,011 214 378 270 72 × 2 = 0 + 0,022 428 756 541 44;
  • 62) 0,022 428 756 541 44 × 2 = 0 + 0,044 857 513 082 88;
  • 63) 0,044 857 513 082 88 × 2 = 0 + 0,089 715 026 165 76;
  • 64) 0,089 715 026 165 76 × 2 = 0 + 0,179 430 052 331 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 345(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 345(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 345(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 345 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1100 1000 0110 1011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 383 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100