-0,000 282 005 914 394 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 394 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 394 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 394 1| = 0,000 282 005 914 394 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 394 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 394 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 788 2;
  • 2) 0,000 564 011 828 788 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 576 4;
  • 3) 0,001 128 023 657 576 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 152 8;
  • 4) 0,002 256 047 315 152 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 305 6;
  • 5) 0,004 512 094 630 305 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 611 2;
  • 6) 0,009 024 189 260 611 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 521 222 4;
  • 7) 0,018 048 378 521 222 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 042 444 8;
  • 8) 0,036 096 757 042 444 8 × 2 = 0 + 0,072 193 514 084 889 6;
  • 9) 0,072 193 514 084 889 6 × 2 = 0 + 0,144 387 028 169 779 2;
  • 10) 0,144 387 028 169 779 2 × 2 = 0 + 0,288 774 056 339 558 4;
  • 11) 0,288 774 056 339 558 4 × 2 = 0 + 0,577 548 112 679 116 8;
  • 12) 0,577 548 112 679 116 8 × 2 = 1 + 0,155 096 225 358 233 6;
  • 13) 0,155 096 225 358 233 6 × 2 = 0 + 0,310 192 450 716 467 2;
  • 14) 0,310 192 450 716 467 2 × 2 = 0 + 0,620 384 901 432 934 4;
  • 15) 0,620 384 901 432 934 4 × 2 = 1 + 0,240 769 802 865 868 8;
  • 16) 0,240 769 802 865 868 8 × 2 = 0 + 0,481 539 605 731 737 6;
  • 17) 0,481 539 605 731 737 6 × 2 = 0 + 0,963 079 211 463 475 2;
  • 18) 0,963 079 211 463 475 2 × 2 = 1 + 0,926 158 422 926 950 4;
  • 19) 0,926 158 422 926 950 4 × 2 = 1 + 0,852 316 845 853 900 8;
  • 20) 0,852 316 845 853 900 8 × 2 = 1 + 0,704 633 691 707 801 6;
  • 21) 0,704 633 691 707 801 6 × 2 = 1 + 0,409 267 383 415 603 2;
  • 22) 0,409 267 383 415 603 2 × 2 = 0 + 0,818 534 766 831 206 4;
  • 23) 0,818 534 766 831 206 4 × 2 = 1 + 0,637 069 533 662 412 8;
  • 24) 0,637 069 533 662 412 8 × 2 = 1 + 0,274 139 067 324 825 6;
  • 25) 0,274 139 067 324 825 6 × 2 = 0 + 0,548 278 134 649 651 2;
  • 26) 0,548 278 134 649 651 2 × 2 = 1 + 0,096 556 269 299 302 4;
  • 27) 0,096 556 269 299 302 4 × 2 = 0 + 0,193 112 538 598 604 8;
  • 28) 0,193 112 538 598 604 8 × 2 = 0 + 0,386 225 077 197 209 6;
  • 29) 0,386 225 077 197 209 6 × 2 = 0 + 0,772 450 154 394 419 2;
  • 30) 0,772 450 154 394 419 2 × 2 = 1 + 0,544 900 308 788 838 4;
  • 31) 0,544 900 308 788 838 4 × 2 = 1 + 0,089 800 617 577 676 8;
  • 32) 0,089 800 617 577 676 8 × 2 = 0 + 0,179 601 235 155 353 6;
  • 33) 0,179 601 235 155 353 6 × 2 = 0 + 0,359 202 470 310 707 2;
  • 34) 0,359 202 470 310 707 2 × 2 = 0 + 0,718 404 940 621 414 4;
  • 35) 0,718 404 940 621 414 4 × 2 = 1 + 0,436 809 881 242 828 8;
  • 36) 0,436 809 881 242 828 8 × 2 = 0 + 0,873 619 762 485 657 6;
  • 37) 0,873 619 762 485 657 6 × 2 = 1 + 0,747 239 524 971 315 2;
  • 38) 0,747 239 524 971 315 2 × 2 = 1 + 0,494 479 049 942 630 4;
  • 39) 0,494 479 049 942 630 4 × 2 = 0 + 0,988 958 099 885 260 8;
  • 40) 0,988 958 099 885 260 8 × 2 = 1 + 0,977 916 199 770 521 6;
  • 41) 0,977 916 199 770 521 6 × 2 = 1 + 0,955 832 399 541 043 2;
  • 42) 0,955 832 399 541 043 2 × 2 = 1 + 0,911 664 799 082 086 4;
  • 43) 0,911 664 799 082 086 4 × 2 = 1 + 0,823 329 598 164 172 8;
  • 44) 0,823 329 598 164 172 8 × 2 = 1 + 0,646 659 196 328 345 6;
  • 45) 0,646 659 196 328 345 6 × 2 = 1 + 0,293 318 392 656 691 2;
  • 46) 0,293 318 392 656 691 2 × 2 = 0 + 0,586 636 785 313 382 4;
  • 47) 0,586 636 785 313 382 4 × 2 = 1 + 0,173 273 570 626 764 8;
  • 48) 0,173 273 570 626 764 8 × 2 = 0 + 0,346 547 141 253 529 6;
  • 49) 0,346 547 141 253 529 6 × 2 = 0 + 0,693 094 282 507 059 2;
  • 50) 0,693 094 282 507 059 2 × 2 = 1 + 0,386 188 565 014 118 4;
  • 51) 0,386 188 565 014 118 4 × 2 = 0 + 0,772 377 130 028 236 8;
  • 52) 0,772 377 130 028 236 8 × 2 = 1 + 0,544 754 260 056 473 6;
  • 53) 0,544 754 260 056 473 6 × 2 = 1 + 0,089 508 520 112 947 2;
  • 54) 0,089 508 520 112 947 2 × 2 = 0 + 0,179 017 040 225 894 4;
  • 55) 0,179 017 040 225 894 4 × 2 = 0 + 0,358 034 080 451 788 8;
  • 56) 0,358 034 080 451 788 8 × 2 = 0 + 0,716 068 160 903 577 6;
  • 57) 0,716 068 160 903 577 6 × 2 = 1 + 0,432 136 321 807 155 2;
  • 58) 0,432 136 321 807 155 2 × 2 = 0 + 0,864 272 643 614 310 4;
  • 59) 0,864 272 643 614 310 4 × 2 = 1 + 0,728 545 287 228 620 8;
  • 60) 0,728 545 287 228 620 8 × 2 = 1 + 0,457 090 574 457 241 6;
  • 61) 0,457 090 574 457 241 6 × 2 = 0 + 0,914 181 148 914 483 2;
  • 62) 0,914 181 148 914 483 2 × 2 = 1 + 0,828 362 297 828 966 4;
  • 63) 0,828 362 297 828 966 4 × 2 = 1 + 0,656 724 595 657 932 8;
  • 64) 0,656 724 595 657 932 8 × 2 = 1 + 0,313 449 191 315 865 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 394 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 394 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 394 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 394 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1010 0101 1000 1011 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 400 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100