-0,000 282 005 914 396 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 396 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 396 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 396 7| = 0,000 282 005 914 396 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 396 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 396 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 793 4;
  • 2) 0,000 564 011 828 793 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 586 8;
  • 3) 0,001 128 023 657 586 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 173 6;
  • 4) 0,002 256 047 315 173 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 347 2;
  • 5) 0,004 512 094 630 347 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 694 4;
  • 6) 0,009 024 189 260 694 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 521 388 8;
  • 7) 0,018 048 378 521 388 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 042 777 6;
  • 8) 0,036 096 757 042 777 6 × 2 = 0 + 0,072 193 514 085 555 2;
  • 9) 0,072 193 514 085 555 2 × 2 = 0 + 0,144 387 028 171 110 4;
  • 10) 0,144 387 028 171 110 4 × 2 = 0 + 0,288 774 056 342 220 8;
  • 11) 0,288 774 056 342 220 8 × 2 = 0 + 0,577 548 112 684 441 6;
  • 12) 0,577 548 112 684 441 6 × 2 = 1 + 0,155 096 225 368 883 2;
  • 13) 0,155 096 225 368 883 2 × 2 = 0 + 0,310 192 450 737 766 4;
  • 14) 0,310 192 450 737 766 4 × 2 = 0 + 0,620 384 901 475 532 8;
  • 15) 0,620 384 901 475 532 8 × 2 = 1 + 0,240 769 802 951 065 6;
  • 16) 0,240 769 802 951 065 6 × 2 = 0 + 0,481 539 605 902 131 2;
  • 17) 0,481 539 605 902 131 2 × 2 = 0 + 0,963 079 211 804 262 4;
  • 18) 0,963 079 211 804 262 4 × 2 = 1 + 0,926 158 423 608 524 8;
  • 19) 0,926 158 423 608 524 8 × 2 = 1 + 0,852 316 847 217 049 6;
  • 20) 0,852 316 847 217 049 6 × 2 = 1 + 0,704 633 694 434 099 2;
  • 21) 0,704 633 694 434 099 2 × 2 = 1 + 0,409 267 388 868 198 4;
  • 22) 0,409 267 388 868 198 4 × 2 = 0 + 0,818 534 777 736 396 8;
  • 23) 0,818 534 777 736 396 8 × 2 = 1 + 0,637 069 555 472 793 6;
  • 24) 0,637 069 555 472 793 6 × 2 = 1 + 0,274 139 110 945 587 2;
  • 25) 0,274 139 110 945 587 2 × 2 = 0 + 0,548 278 221 891 174 4;
  • 26) 0,548 278 221 891 174 4 × 2 = 1 + 0,096 556 443 782 348 8;
  • 27) 0,096 556 443 782 348 8 × 2 = 0 + 0,193 112 887 564 697 6;
  • 28) 0,193 112 887 564 697 6 × 2 = 0 + 0,386 225 775 129 395 2;
  • 29) 0,386 225 775 129 395 2 × 2 = 0 + 0,772 451 550 258 790 4;
  • 30) 0,772 451 550 258 790 4 × 2 = 1 + 0,544 903 100 517 580 8;
  • 31) 0,544 903 100 517 580 8 × 2 = 1 + 0,089 806 201 035 161 6;
  • 32) 0,089 806 201 035 161 6 × 2 = 0 + 0,179 612 402 070 323 2;
  • 33) 0,179 612 402 070 323 2 × 2 = 0 + 0,359 224 804 140 646 4;
  • 34) 0,359 224 804 140 646 4 × 2 = 0 + 0,718 449 608 281 292 8;
  • 35) 0,718 449 608 281 292 8 × 2 = 1 + 0,436 899 216 562 585 6;
  • 36) 0,436 899 216 562 585 6 × 2 = 0 + 0,873 798 433 125 171 2;
  • 37) 0,873 798 433 125 171 2 × 2 = 1 + 0,747 596 866 250 342 4;
  • 38) 0,747 596 866 250 342 4 × 2 = 1 + 0,495 193 732 500 684 8;
  • 39) 0,495 193 732 500 684 8 × 2 = 0 + 0,990 387 465 001 369 6;
  • 40) 0,990 387 465 001 369 6 × 2 = 1 + 0,980 774 930 002 739 2;
  • 41) 0,980 774 930 002 739 2 × 2 = 1 + 0,961 549 860 005 478 4;
  • 42) 0,961 549 860 005 478 4 × 2 = 1 + 0,923 099 720 010 956 8;
  • 43) 0,923 099 720 010 956 8 × 2 = 1 + 0,846 199 440 021 913 6;
  • 44) 0,846 199 440 021 913 6 × 2 = 1 + 0,692 398 880 043 827 2;
  • 45) 0,692 398 880 043 827 2 × 2 = 1 + 0,384 797 760 087 654 4;
  • 46) 0,384 797 760 087 654 4 × 2 = 0 + 0,769 595 520 175 308 8;
  • 47) 0,769 595 520 175 308 8 × 2 = 1 + 0,539 191 040 350 617 6;
  • 48) 0,539 191 040 350 617 6 × 2 = 1 + 0,078 382 080 701 235 2;
  • 49) 0,078 382 080 701 235 2 × 2 = 0 + 0,156 764 161 402 470 4;
  • 50) 0,156 764 161 402 470 4 × 2 = 0 + 0,313 528 322 804 940 8;
  • 51) 0,313 528 322 804 940 8 × 2 = 0 + 0,627 056 645 609 881 6;
  • 52) 0,627 056 645 609 881 6 × 2 = 1 + 0,254 113 291 219 763 2;
  • 53) 0,254 113 291 219 763 2 × 2 = 0 + 0,508 226 582 439 526 4;
  • 54) 0,508 226 582 439 526 4 × 2 = 1 + 0,016 453 164 879 052 8;
  • 55) 0,016 453 164 879 052 8 × 2 = 0 + 0,032 906 329 758 105 6;
  • 56) 0,032 906 329 758 105 6 × 2 = 0 + 0,065 812 659 516 211 2;
  • 57) 0,065 812 659 516 211 2 × 2 = 0 + 0,131 625 319 032 422 4;
  • 58) 0,131 625 319 032 422 4 × 2 = 0 + 0,263 250 638 064 844 8;
  • 59) 0,263 250 638 064 844 8 × 2 = 0 + 0,526 501 276 129 689 6;
  • 60) 0,526 501 276 129 689 6 × 2 = 1 + 0,053 002 552 259 379 2;
  • 61) 0,053 002 552 259 379 2 × 2 = 0 + 0,106 005 104 518 758 4;
  • 62) 0,106 005 104 518 758 4 × 2 = 0 + 0,212 010 209 037 516 8;
  • 63) 0,212 010 209 037 516 8 × 2 = 0 + 0,424 020 418 075 033 6;
  • 64) 0,424 020 418 075 033 6 × 2 = 0 + 0,848 040 836 150 067 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 396 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 396 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 396 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 396 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 0001 0100 0001 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 394 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100