-0,000 282 005 914 408 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 408(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 408(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 408| = 0,000 282 005 914 408


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 408.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 408 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 816;
  • 2) 0,000 564 011 828 816 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 632;
  • 3) 0,001 128 023 657 632 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 264;
  • 4) 0,002 256 047 315 264 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 528;
  • 5) 0,004 512 094 630 528 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 056;
  • 6) 0,009 024 189 261 056 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 112;
  • 7) 0,018 048 378 522 112 × 2 = 0 + 0,036 096 757 044 224;
  • 8) 0,036 096 757 044 224 × 2 = 0 + 0,072 193 514 088 448;
  • 9) 0,072 193 514 088 448 × 2 = 0 + 0,144 387 028 176 896;
  • 10) 0,144 387 028 176 896 × 2 = 0 + 0,288 774 056 353 792;
  • 11) 0,288 774 056 353 792 × 2 = 0 + 0,577 548 112 707 584;
  • 12) 0,577 548 112 707 584 × 2 = 1 + 0,155 096 225 415 168;
  • 13) 0,155 096 225 415 168 × 2 = 0 + 0,310 192 450 830 336;
  • 14) 0,310 192 450 830 336 × 2 = 0 + 0,620 384 901 660 672;
  • 15) 0,620 384 901 660 672 × 2 = 1 + 0,240 769 803 321 344;
  • 16) 0,240 769 803 321 344 × 2 = 0 + 0,481 539 606 642 688;
  • 17) 0,481 539 606 642 688 × 2 = 0 + 0,963 079 213 285 376;
  • 18) 0,963 079 213 285 376 × 2 = 1 + 0,926 158 426 570 752;
  • 19) 0,926 158 426 570 752 × 2 = 1 + 0,852 316 853 141 504;
  • 20) 0,852 316 853 141 504 × 2 = 1 + 0,704 633 706 283 008;
  • 21) 0,704 633 706 283 008 × 2 = 1 + 0,409 267 412 566 016;
  • 22) 0,409 267 412 566 016 × 2 = 0 + 0,818 534 825 132 032;
  • 23) 0,818 534 825 132 032 × 2 = 1 + 0,637 069 650 264 064;
  • 24) 0,637 069 650 264 064 × 2 = 1 + 0,274 139 300 528 128;
  • 25) 0,274 139 300 528 128 × 2 = 0 + 0,548 278 601 056 256;
  • 26) 0,548 278 601 056 256 × 2 = 1 + 0,096 557 202 112 512;
  • 27) 0,096 557 202 112 512 × 2 = 0 + 0,193 114 404 225 024;
  • 28) 0,193 114 404 225 024 × 2 = 0 + 0,386 228 808 450 048;
  • 29) 0,386 228 808 450 048 × 2 = 0 + 0,772 457 616 900 096;
  • 30) 0,772 457 616 900 096 × 2 = 1 + 0,544 915 233 800 192;
  • 31) 0,544 915 233 800 192 × 2 = 1 + 0,089 830 467 600 384;
  • 32) 0,089 830 467 600 384 × 2 = 0 + 0,179 660 935 200 768;
  • 33) 0,179 660 935 200 768 × 2 = 0 + 0,359 321 870 401 536;
  • 34) 0,359 321 870 401 536 × 2 = 0 + 0,718 643 740 803 072;
  • 35) 0,718 643 740 803 072 × 2 = 1 + 0,437 287 481 606 144;
  • 36) 0,437 287 481 606 144 × 2 = 0 + 0,874 574 963 212 288;
  • 37) 0,874 574 963 212 288 × 2 = 1 + 0,749 149 926 424 576;
  • 38) 0,749 149 926 424 576 × 2 = 1 + 0,498 299 852 849 152;
  • 39) 0,498 299 852 849 152 × 2 = 0 + 0,996 599 705 698 304;
  • 40) 0,996 599 705 698 304 × 2 = 1 + 0,993 199 411 396 608;
  • 41) 0,993 199 411 396 608 × 2 = 1 + 0,986 398 822 793 216;
  • 42) 0,986 398 822 793 216 × 2 = 1 + 0,972 797 645 586 432;
  • 43) 0,972 797 645 586 432 × 2 = 1 + 0,945 595 291 172 864;
  • 44) 0,945 595 291 172 864 × 2 = 1 + 0,891 190 582 345 728;
  • 45) 0,891 190 582 345 728 × 2 = 1 + 0,782 381 164 691 456;
  • 46) 0,782 381 164 691 456 × 2 = 1 + 0,564 762 329 382 912;
  • 47) 0,564 762 329 382 912 × 2 = 1 + 0,129 524 658 765 824;
  • 48) 0,129 524 658 765 824 × 2 = 0 + 0,259 049 317 531 648;
  • 49) 0,259 049 317 531 648 × 2 = 0 + 0,518 098 635 063 296;
  • 50) 0,518 098 635 063 296 × 2 = 1 + 0,036 197 270 126 592;
  • 51) 0,036 197 270 126 592 × 2 = 0 + 0,072 394 540 253 184;
  • 52) 0,072 394 540 253 184 × 2 = 0 + 0,144 789 080 506 368;
  • 53) 0,144 789 080 506 368 × 2 = 0 + 0,289 578 161 012 736;
  • 54) 0,289 578 161 012 736 × 2 = 0 + 0,579 156 322 025 472;
  • 55) 0,579 156 322 025 472 × 2 = 1 + 0,158 312 644 050 944;
  • 56) 0,158 312 644 050 944 × 2 = 0 + 0,316 625 288 101 888;
  • 57) 0,316 625 288 101 888 × 2 = 0 + 0,633 250 576 203 776;
  • 58) 0,633 250 576 203 776 × 2 = 1 + 0,266 501 152 407 552;
  • 59) 0,266 501 152 407 552 × 2 = 0 + 0,533 002 304 815 104;
  • 60) 0,533 002 304 815 104 × 2 = 1 + 0,066 004 609 630 208;
  • 61) 0,066 004 609 630 208 × 2 = 0 + 0,132 009 219 260 416;
  • 62) 0,132 009 219 260 416 × 2 = 0 + 0,264 018 438 520 832;
  • 63) 0,264 018 438 520 832 × 2 = 0 + 0,528 036 877 041 664;
  • 64) 0,528 036 877 041 664 × 2 = 1 + 0,056 073 754 083 328;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 408(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 408(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 408(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 408 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 0100 0010 0101 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100