-0,000 282 005 914 415 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 415(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 415(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 415| = 0,000 282 005 914 415


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 415.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 415 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 83;
  • 2) 0,000 564 011 828 83 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 66;
  • 3) 0,001 128 023 657 66 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 32;
  • 4) 0,002 256 047 315 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 64;
  • 5) 0,004 512 094 630 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 28;
  • 6) 0,009 024 189 261 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 56;
  • 7) 0,018 048 378 522 56 × 2 = 0 + 0,036 096 757 045 12;
  • 8) 0,036 096 757 045 12 × 2 = 0 + 0,072 193 514 090 24;
  • 9) 0,072 193 514 090 24 × 2 = 0 + 0,144 387 028 180 48;
  • 10) 0,144 387 028 180 48 × 2 = 0 + 0,288 774 056 360 96;
  • 11) 0,288 774 056 360 96 × 2 = 0 + 0,577 548 112 721 92;
  • 12) 0,577 548 112 721 92 × 2 = 1 + 0,155 096 225 443 84;
  • 13) 0,155 096 225 443 84 × 2 = 0 + 0,310 192 450 887 68;
  • 14) 0,310 192 450 887 68 × 2 = 0 + 0,620 384 901 775 36;
  • 15) 0,620 384 901 775 36 × 2 = 1 + 0,240 769 803 550 72;
  • 16) 0,240 769 803 550 72 × 2 = 0 + 0,481 539 607 101 44;
  • 17) 0,481 539 607 101 44 × 2 = 0 + 0,963 079 214 202 88;
  • 18) 0,963 079 214 202 88 × 2 = 1 + 0,926 158 428 405 76;
  • 19) 0,926 158 428 405 76 × 2 = 1 + 0,852 316 856 811 52;
  • 20) 0,852 316 856 811 52 × 2 = 1 + 0,704 633 713 623 04;
  • 21) 0,704 633 713 623 04 × 2 = 1 + 0,409 267 427 246 08;
  • 22) 0,409 267 427 246 08 × 2 = 0 + 0,818 534 854 492 16;
  • 23) 0,818 534 854 492 16 × 2 = 1 + 0,637 069 708 984 32;
  • 24) 0,637 069 708 984 32 × 2 = 1 + 0,274 139 417 968 64;
  • 25) 0,274 139 417 968 64 × 2 = 0 + 0,548 278 835 937 28;
  • 26) 0,548 278 835 937 28 × 2 = 1 + 0,096 557 671 874 56;
  • 27) 0,096 557 671 874 56 × 2 = 0 + 0,193 115 343 749 12;
  • 28) 0,193 115 343 749 12 × 2 = 0 + 0,386 230 687 498 24;
  • 29) 0,386 230 687 498 24 × 2 = 0 + 0,772 461 374 996 48;
  • 30) 0,772 461 374 996 48 × 2 = 1 + 0,544 922 749 992 96;
  • 31) 0,544 922 749 992 96 × 2 = 1 + 0,089 845 499 985 92;
  • 32) 0,089 845 499 985 92 × 2 = 0 + 0,179 690 999 971 84;
  • 33) 0,179 690 999 971 84 × 2 = 0 + 0,359 381 999 943 68;
  • 34) 0,359 381 999 943 68 × 2 = 0 + 0,718 763 999 887 36;
  • 35) 0,718 763 999 887 36 × 2 = 1 + 0,437 527 999 774 72;
  • 36) 0,437 527 999 774 72 × 2 = 0 + 0,875 055 999 549 44;
  • 37) 0,875 055 999 549 44 × 2 = 1 + 0,750 111 999 098 88;
  • 38) 0,750 111 999 098 88 × 2 = 1 + 0,500 223 998 197 76;
  • 39) 0,500 223 998 197 76 × 2 = 1 + 0,000 447 996 395 52;
  • 40) 0,000 447 996 395 52 × 2 = 0 + 0,000 895 992 791 04;
  • 41) 0,000 895 992 791 04 × 2 = 0 + 0,001 791 985 582 08;
  • 42) 0,001 791 985 582 08 × 2 = 0 + 0,003 583 971 164 16;
  • 43) 0,003 583 971 164 16 × 2 = 0 + 0,007 167 942 328 32;
  • 44) 0,007 167 942 328 32 × 2 = 0 + 0,014 335 884 656 64;
  • 45) 0,014 335 884 656 64 × 2 = 0 + 0,028 671 769 313 28;
  • 46) 0,028 671 769 313 28 × 2 = 0 + 0,057 343 538 626 56;
  • 47) 0,057 343 538 626 56 × 2 = 0 + 0,114 687 077 253 12;
  • 48) 0,114 687 077 253 12 × 2 = 0 + 0,229 374 154 506 24;
  • 49) 0,229 374 154 506 24 × 2 = 0 + 0,458 748 309 012 48;
  • 50) 0,458 748 309 012 48 × 2 = 0 + 0,917 496 618 024 96;
  • 51) 0,917 496 618 024 96 × 2 = 1 + 0,834 993 236 049 92;
  • 52) 0,834 993 236 049 92 × 2 = 1 + 0,669 986 472 099 84;
  • 53) 0,669 986 472 099 84 × 2 = 1 + 0,339 972 944 199 68;
  • 54) 0,339 972 944 199 68 × 2 = 0 + 0,679 945 888 399 36;
  • 55) 0,679 945 888 399 36 × 2 = 1 + 0,359 891 776 798 72;
  • 56) 0,359 891 776 798 72 × 2 = 0 + 0,719 783 553 597 44;
  • 57) 0,719 783 553 597 44 × 2 = 1 + 0,439 567 107 194 88;
  • 58) 0,439 567 107 194 88 × 2 = 0 + 0,879 134 214 389 76;
  • 59) 0,879 134 214 389 76 × 2 = 1 + 0,758 268 428 779 52;
  • 60) 0,758 268 428 779 52 × 2 = 1 + 0,516 536 857 559 04;
  • 61) 0,516 536 857 559 04 × 2 = 1 + 0,033 073 715 118 08;
  • 62) 0,033 073 715 118 08 × 2 = 0 + 0,066 147 430 236 16;
  • 63) 0,066 147 430 236 16 × 2 = 0 + 0,132 294 860 472 32;
  • 64) 0,132 294 860 472 32 × 2 = 0 + 0,264 589 720 944 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 415(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 415(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 415(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 415 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 0011 1010 1011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 495 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100