-0,000 282 005 914 416 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 416(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 416(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 416| = 0,000 282 005 914 416


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 416.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 416 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 832;
  • 2) 0,000 564 011 828 832 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 664;
  • 3) 0,001 128 023 657 664 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 328;
  • 4) 0,002 256 047 315 328 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 656;
  • 5) 0,004 512 094 630 656 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 312;
  • 6) 0,009 024 189 261 312 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 624;
  • 7) 0,018 048 378 522 624 × 2 = 0 + 0,036 096 757 045 248;
  • 8) 0,036 096 757 045 248 × 2 = 0 + 0,072 193 514 090 496;
  • 9) 0,072 193 514 090 496 × 2 = 0 + 0,144 387 028 180 992;
  • 10) 0,144 387 028 180 992 × 2 = 0 + 0,288 774 056 361 984;
  • 11) 0,288 774 056 361 984 × 2 = 0 + 0,577 548 112 723 968;
  • 12) 0,577 548 112 723 968 × 2 = 1 + 0,155 096 225 447 936;
  • 13) 0,155 096 225 447 936 × 2 = 0 + 0,310 192 450 895 872;
  • 14) 0,310 192 450 895 872 × 2 = 0 + 0,620 384 901 791 744;
  • 15) 0,620 384 901 791 744 × 2 = 1 + 0,240 769 803 583 488;
  • 16) 0,240 769 803 583 488 × 2 = 0 + 0,481 539 607 166 976;
  • 17) 0,481 539 607 166 976 × 2 = 0 + 0,963 079 214 333 952;
  • 18) 0,963 079 214 333 952 × 2 = 1 + 0,926 158 428 667 904;
  • 19) 0,926 158 428 667 904 × 2 = 1 + 0,852 316 857 335 808;
  • 20) 0,852 316 857 335 808 × 2 = 1 + 0,704 633 714 671 616;
  • 21) 0,704 633 714 671 616 × 2 = 1 + 0,409 267 429 343 232;
  • 22) 0,409 267 429 343 232 × 2 = 0 + 0,818 534 858 686 464;
  • 23) 0,818 534 858 686 464 × 2 = 1 + 0,637 069 717 372 928;
  • 24) 0,637 069 717 372 928 × 2 = 1 + 0,274 139 434 745 856;
  • 25) 0,274 139 434 745 856 × 2 = 0 + 0,548 278 869 491 712;
  • 26) 0,548 278 869 491 712 × 2 = 1 + 0,096 557 738 983 424;
  • 27) 0,096 557 738 983 424 × 2 = 0 + 0,193 115 477 966 848;
  • 28) 0,193 115 477 966 848 × 2 = 0 + 0,386 230 955 933 696;
  • 29) 0,386 230 955 933 696 × 2 = 0 + 0,772 461 911 867 392;
  • 30) 0,772 461 911 867 392 × 2 = 1 + 0,544 923 823 734 784;
  • 31) 0,544 923 823 734 784 × 2 = 1 + 0,089 847 647 469 568;
  • 32) 0,089 847 647 469 568 × 2 = 0 + 0,179 695 294 939 136;
  • 33) 0,179 695 294 939 136 × 2 = 0 + 0,359 390 589 878 272;
  • 34) 0,359 390 589 878 272 × 2 = 0 + 0,718 781 179 756 544;
  • 35) 0,718 781 179 756 544 × 2 = 1 + 0,437 562 359 513 088;
  • 36) 0,437 562 359 513 088 × 2 = 0 + 0,875 124 719 026 176;
  • 37) 0,875 124 719 026 176 × 2 = 1 + 0,750 249 438 052 352;
  • 38) 0,750 249 438 052 352 × 2 = 1 + 0,500 498 876 104 704;
  • 39) 0,500 498 876 104 704 × 2 = 1 + 0,000 997 752 209 408;
  • 40) 0,000 997 752 209 408 × 2 = 0 + 0,001 995 504 418 816;
  • 41) 0,001 995 504 418 816 × 2 = 0 + 0,003 991 008 837 632;
  • 42) 0,003 991 008 837 632 × 2 = 0 + 0,007 982 017 675 264;
  • 43) 0,007 982 017 675 264 × 2 = 0 + 0,015 964 035 350 528;
  • 44) 0,015 964 035 350 528 × 2 = 0 + 0,031 928 070 701 056;
  • 45) 0,031 928 070 701 056 × 2 = 0 + 0,063 856 141 402 112;
  • 46) 0,063 856 141 402 112 × 2 = 0 + 0,127 712 282 804 224;
  • 47) 0,127 712 282 804 224 × 2 = 0 + 0,255 424 565 608 448;
  • 48) 0,255 424 565 608 448 × 2 = 0 + 0,510 849 131 216 896;
  • 49) 0,510 849 131 216 896 × 2 = 1 + 0,021 698 262 433 792;
  • 50) 0,021 698 262 433 792 × 2 = 0 + 0,043 396 524 867 584;
  • 51) 0,043 396 524 867 584 × 2 = 0 + 0,086 793 049 735 168;
  • 52) 0,086 793 049 735 168 × 2 = 0 + 0,173 586 099 470 336;
  • 53) 0,173 586 099 470 336 × 2 = 0 + 0,347 172 198 940 672;
  • 54) 0,347 172 198 940 672 × 2 = 0 + 0,694 344 397 881 344;
  • 55) 0,694 344 397 881 344 × 2 = 1 + 0,388 688 795 762 688;
  • 56) 0,388 688 795 762 688 × 2 = 0 + 0,777 377 591 525 376;
  • 57) 0,777 377 591 525 376 × 2 = 1 + 0,554 755 183 050 752;
  • 58) 0,554 755 183 050 752 × 2 = 1 + 0,109 510 366 101 504;
  • 59) 0,109 510 366 101 504 × 2 = 0 + 0,219 020 732 203 008;
  • 60) 0,219 020 732 203 008 × 2 = 0 + 0,438 041 464 406 016;
  • 61) 0,438 041 464 406 016 × 2 = 0 + 0,876 082 928 812 032;
  • 62) 0,876 082 928 812 032 × 2 = 1 + 0,752 165 857 624 064;
  • 63) 0,752 165 857 624 064 × 2 = 1 + 0,504 331 715 248 128;
  • 64) 0,504 331 715 248 128 × 2 = 1 + 0,008 663 430 496 256;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 416(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 416(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 416(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 416 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1000 0010 1100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100