-0,000 282 005 914 421 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 421(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 421(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 421| = 0,000 282 005 914 421


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 421.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 421 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 842;
  • 2) 0,000 564 011 828 842 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 684;
  • 3) 0,001 128 023 657 684 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 368;
  • 4) 0,002 256 047 315 368 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 736;
  • 5) 0,004 512 094 630 736 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 472;
  • 6) 0,009 024 189 261 472 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 944;
  • 7) 0,018 048 378 522 944 × 2 = 0 + 0,036 096 757 045 888;
  • 8) 0,036 096 757 045 888 × 2 = 0 + 0,072 193 514 091 776;
  • 9) 0,072 193 514 091 776 × 2 = 0 + 0,144 387 028 183 552;
  • 10) 0,144 387 028 183 552 × 2 = 0 + 0,288 774 056 367 104;
  • 11) 0,288 774 056 367 104 × 2 = 0 + 0,577 548 112 734 208;
  • 12) 0,577 548 112 734 208 × 2 = 1 + 0,155 096 225 468 416;
  • 13) 0,155 096 225 468 416 × 2 = 0 + 0,310 192 450 936 832;
  • 14) 0,310 192 450 936 832 × 2 = 0 + 0,620 384 901 873 664;
  • 15) 0,620 384 901 873 664 × 2 = 1 + 0,240 769 803 747 328;
  • 16) 0,240 769 803 747 328 × 2 = 0 + 0,481 539 607 494 656;
  • 17) 0,481 539 607 494 656 × 2 = 0 + 0,963 079 214 989 312;
  • 18) 0,963 079 214 989 312 × 2 = 1 + 0,926 158 429 978 624;
  • 19) 0,926 158 429 978 624 × 2 = 1 + 0,852 316 859 957 248;
  • 20) 0,852 316 859 957 248 × 2 = 1 + 0,704 633 719 914 496;
  • 21) 0,704 633 719 914 496 × 2 = 1 + 0,409 267 439 828 992;
  • 22) 0,409 267 439 828 992 × 2 = 0 + 0,818 534 879 657 984;
  • 23) 0,818 534 879 657 984 × 2 = 1 + 0,637 069 759 315 968;
  • 24) 0,637 069 759 315 968 × 2 = 1 + 0,274 139 518 631 936;
  • 25) 0,274 139 518 631 936 × 2 = 0 + 0,548 279 037 263 872;
  • 26) 0,548 279 037 263 872 × 2 = 1 + 0,096 558 074 527 744;
  • 27) 0,096 558 074 527 744 × 2 = 0 + 0,193 116 149 055 488;
  • 28) 0,193 116 149 055 488 × 2 = 0 + 0,386 232 298 110 976;
  • 29) 0,386 232 298 110 976 × 2 = 0 + 0,772 464 596 221 952;
  • 30) 0,772 464 596 221 952 × 2 = 1 + 0,544 929 192 443 904;
  • 31) 0,544 929 192 443 904 × 2 = 1 + 0,089 858 384 887 808;
  • 32) 0,089 858 384 887 808 × 2 = 0 + 0,179 716 769 775 616;
  • 33) 0,179 716 769 775 616 × 2 = 0 + 0,359 433 539 551 232;
  • 34) 0,359 433 539 551 232 × 2 = 0 + 0,718 867 079 102 464;
  • 35) 0,718 867 079 102 464 × 2 = 1 + 0,437 734 158 204 928;
  • 36) 0,437 734 158 204 928 × 2 = 0 + 0,875 468 316 409 856;
  • 37) 0,875 468 316 409 856 × 2 = 1 + 0,750 936 632 819 712;
  • 38) 0,750 936 632 819 712 × 2 = 1 + 0,501 873 265 639 424;
  • 39) 0,501 873 265 639 424 × 2 = 1 + 0,003 746 531 278 848;
  • 40) 0,003 746 531 278 848 × 2 = 0 + 0,007 493 062 557 696;
  • 41) 0,007 493 062 557 696 × 2 = 0 + 0,014 986 125 115 392;
  • 42) 0,014 986 125 115 392 × 2 = 0 + 0,029 972 250 230 784;
  • 43) 0,029 972 250 230 784 × 2 = 0 + 0,059 944 500 461 568;
  • 44) 0,059 944 500 461 568 × 2 = 0 + 0,119 889 000 923 136;
  • 45) 0,119 889 000 923 136 × 2 = 0 + 0,239 778 001 846 272;
  • 46) 0,239 778 001 846 272 × 2 = 0 + 0,479 556 003 692 544;
  • 47) 0,479 556 003 692 544 × 2 = 0 + 0,959 112 007 385 088;
  • 48) 0,959 112 007 385 088 × 2 = 1 + 0,918 224 014 770 176;
  • 49) 0,918 224 014 770 176 × 2 = 1 + 0,836 448 029 540 352;
  • 50) 0,836 448 029 540 352 × 2 = 1 + 0,672 896 059 080 704;
  • 51) 0,672 896 059 080 704 × 2 = 1 + 0,345 792 118 161 408;
  • 52) 0,345 792 118 161 408 × 2 = 0 + 0,691 584 236 322 816;
  • 53) 0,691 584 236 322 816 × 2 = 1 + 0,383 168 472 645 632;
  • 54) 0,383 168 472 645 632 × 2 = 0 + 0,766 336 945 291 264;
  • 55) 0,766 336 945 291 264 × 2 = 1 + 0,532 673 890 582 528;
  • 56) 0,532 673 890 582 528 × 2 = 1 + 0,065 347 781 165 056;
  • 57) 0,065 347 781 165 056 × 2 = 0 + 0,130 695 562 330 112;
  • 58) 0,130 695 562 330 112 × 2 = 0 + 0,261 391 124 660 224;
  • 59) 0,261 391 124 660 224 × 2 = 0 + 0,522 782 249 320 448;
  • 60) 0,522 782 249 320 448 × 2 = 1 + 0,045 564 498 640 896;
  • 61) 0,045 564 498 640 896 × 2 = 0 + 0,091 128 997 281 792;
  • 62) 0,091 128 997 281 792 × 2 = 0 + 0,182 257 994 563 584;
  • 63) 0,182 257 994 563 584 × 2 = 0 + 0,364 515 989 127 168;
  • 64) 0,364 515 989 127 168 × 2 = 0 + 0,729 031 978 254 336;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 421(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 421(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 421(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 421 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0001 1110 1011 0001 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 328 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100