-0,000 282 005 914 428 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 428(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 428(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 428| = 0,000 282 005 914 428


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 428.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 428 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 856;
  • 2) 0,000 564 011 828 856 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 712;
  • 3) 0,001 128 023 657 712 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 424;
  • 4) 0,002 256 047 315 424 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 848;
  • 5) 0,004 512 094 630 848 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 696;
  • 6) 0,009 024 189 261 696 × 2 = 0 + 0,018 048 378 523 392;
  • 7) 0,018 048 378 523 392 × 2 = 0 + 0,036 096 757 046 784;
  • 8) 0,036 096 757 046 784 × 2 = 0 + 0,072 193 514 093 568;
  • 9) 0,072 193 514 093 568 × 2 = 0 + 0,144 387 028 187 136;
  • 10) 0,144 387 028 187 136 × 2 = 0 + 0,288 774 056 374 272;
  • 11) 0,288 774 056 374 272 × 2 = 0 + 0,577 548 112 748 544;
  • 12) 0,577 548 112 748 544 × 2 = 1 + 0,155 096 225 497 088;
  • 13) 0,155 096 225 497 088 × 2 = 0 + 0,310 192 450 994 176;
  • 14) 0,310 192 450 994 176 × 2 = 0 + 0,620 384 901 988 352;
  • 15) 0,620 384 901 988 352 × 2 = 1 + 0,240 769 803 976 704;
  • 16) 0,240 769 803 976 704 × 2 = 0 + 0,481 539 607 953 408;
  • 17) 0,481 539 607 953 408 × 2 = 0 + 0,963 079 215 906 816;
  • 18) 0,963 079 215 906 816 × 2 = 1 + 0,926 158 431 813 632;
  • 19) 0,926 158 431 813 632 × 2 = 1 + 0,852 316 863 627 264;
  • 20) 0,852 316 863 627 264 × 2 = 1 + 0,704 633 727 254 528;
  • 21) 0,704 633 727 254 528 × 2 = 1 + 0,409 267 454 509 056;
  • 22) 0,409 267 454 509 056 × 2 = 0 + 0,818 534 909 018 112;
  • 23) 0,818 534 909 018 112 × 2 = 1 + 0,637 069 818 036 224;
  • 24) 0,637 069 818 036 224 × 2 = 1 + 0,274 139 636 072 448;
  • 25) 0,274 139 636 072 448 × 2 = 0 + 0,548 279 272 144 896;
  • 26) 0,548 279 272 144 896 × 2 = 1 + 0,096 558 544 289 792;
  • 27) 0,096 558 544 289 792 × 2 = 0 + 0,193 117 088 579 584;
  • 28) 0,193 117 088 579 584 × 2 = 0 + 0,386 234 177 159 168;
  • 29) 0,386 234 177 159 168 × 2 = 0 + 0,772 468 354 318 336;
  • 30) 0,772 468 354 318 336 × 2 = 1 + 0,544 936 708 636 672;
  • 31) 0,544 936 708 636 672 × 2 = 1 + 0,089 873 417 273 344;
  • 32) 0,089 873 417 273 344 × 2 = 0 + 0,179 746 834 546 688;
  • 33) 0,179 746 834 546 688 × 2 = 0 + 0,359 493 669 093 376;
  • 34) 0,359 493 669 093 376 × 2 = 0 + 0,718 987 338 186 752;
  • 35) 0,718 987 338 186 752 × 2 = 1 + 0,437 974 676 373 504;
  • 36) 0,437 974 676 373 504 × 2 = 0 + 0,875 949 352 747 008;
  • 37) 0,875 949 352 747 008 × 2 = 1 + 0,751 898 705 494 016;
  • 38) 0,751 898 705 494 016 × 2 = 1 + 0,503 797 410 988 032;
  • 39) 0,503 797 410 988 032 × 2 = 1 + 0,007 594 821 976 064;
  • 40) 0,007 594 821 976 064 × 2 = 0 + 0,015 189 643 952 128;
  • 41) 0,015 189 643 952 128 × 2 = 0 + 0,030 379 287 904 256;
  • 42) 0,030 379 287 904 256 × 2 = 0 + 0,060 758 575 808 512;
  • 43) 0,060 758 575 808 512 × 2 = 0 + 0,121 517 151 617 024;
  • 44) 0,121 517 151 617 024 × 2 = 0 + 0,243 034 303 234 048;
  • 45) 0,243 034 303 234 048 × 2 = 0 + 0,486 068 606 468 096;
  • 46) 0,486 068 606 468 096 × 2 = 0 + 0,972 137 212 936 192;
  • 47) 0,972 137 212 936 192 × 2 = 1 + 0,944 274 425 872 384;
  • 48) 0,944 274 425 872 384 × 2 = 1 + 0,888 548 851 744 768;
  • 49) 0,888 548 851 744 768 × 2 = 1 + 0,777 097 703 489 536;
  • 50) 0,777 097 703 489 536 × 2 = 1 + 0,554 195 406 979 072;
  • 51) 0,554 195 406 979 072 × 2 = 1 + 0,108 390 813 958 144;
  • 52) 0,108 390 813 958 144 × 2 = 0 + 0,216 781 627 916 288;
  • 53) 0,216 781 627 916 288 × 2 = 0 + 0,433 563 255 832 576;
  • 54) 0,433 563 255 832 576 × 2 = 0 + 0,867 126 511 665 152;
  • 55) 0,867 126 511 665 152 × 2 = 1 + 0,734 253 023 330 304;
  • 56) 0,734 253 023 330 304 × 2 = 1 + 0,468 506 046 660 608;
  • 57) 0,468 506 046 660 608 × 2 = 0 + 0,937 012 093 321 216;
  • 58) 0,937 012 093 321 216 × 2 = 1 + 0,874 024 186 642 432;
  • 59) 0,874 024 186 642 432 × 2 = 1 + 0,748 048 373 284 864;
  • 60) 0,748 048 373 284 864 × 2 = 1 + 0,496 096 746 569 728;
  • 61) 0,496 096 746 569 728 × 2 = 0 + 0,992 193 493 139 456;
  • 62) 0,992 193 493 139 456 × 2 = 1 + 0,984 386 986 278 912;
  • 63) 0,984 386 986 278 912 × 2 = 1 + 0,968 773 972 557 824;
  • 64) 0,968 773 972 557 824 × 2 = 1 + 0,937 547 945 115 648;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 428(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 428(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 428(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 428 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 1110 0011 0111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100