-0,000 282 005 914 432 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 432(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 432(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 432| = 0,000 282 005 914 432


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 432.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 432 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 864;
  • 2) 0,000 564 011 828 864 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 728;
  • 3) 0,001 128 023 657 728 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 456;
  • 4) 0,002 256 047 315 456 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 912;
  • 5) 0,004 512 094 630 912 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 824;
  • 6) 0,009 024 189 261 824 × 2 = 0 + 0,018 048 378 523 648;
  • 7) 0,018 048 378 523 648 × 2 = 0 + 0,036 096 757 047 296;
  • 8) 0,036 096 757 047 296 × 2 = 0 + 0,072 193 514 094 592;
  • 9) 0,072 193 514 094 592 × 2 = 0 + 0,144 387 028 189 184;
  • 10) 0,144 387 028 189 184 × 2 = 0 + 0,288 774 056 378 368;
  • 11) 0,288 774 056 378 368 × 2 = 0 + 0,577 548 112 756 736;
  • 12) 0,577 548 112 756 736 × 2 = 1 + 0,155 096 225 513 472;
  • 13) 0,155 096 225 513 472 × 2 = 0 + 0,310 192 451 026 944;
  • 14) 0,310 192 451 026 944 × 2 = 0 + 0,620 384 902 053 888;
  • 15) 0,620 384 902 053 888 × 2 = 1 + 0,240 769 804 107 776;
  • 16) 0,240 769 804 107 776 × 2 = 0 + 0,481 539 608 215 552;
  • 17) 0,481 539 608 215 552 × 2 = 0 + 0,963 079 216 431 104;
  • 18) 0,963 079 216 431 104 × 2 = 1 + 0,926 158 432 862 208;
  • 19) 0,926 158 432 862 208 × 2 = 1 + 0,852 316 865 724 416;
  • 20) 0,852 316 865 724 416 × 2 = 1 + 0,704 633 731 448 832;
  • 21) 0,704 633 731 448 832 × 2 = 1 + 0,409 267 462 897 664;
  • 22) 0,409 267 462 897 664 × 2 = 0 + 0,818 534 925 795 328;
  • 23) 0,818 534 925 795 328 × 2 = 1 + 0,637 069 851 590 656;
  • 24) 0,637 069 851 590 656 × 2 = 1 + 0,274 139 703 181 312;
  • 25) 0,274 139 703 181 312 × 2 = 0 + 0,548 279 406 362 624;
  • 26) 0,548 279 406 362 624 × 2 = 1 + 0,096 558 812 725 248;
  • 27) 0,096 558 812 725 248 × 2 = 0 + 0,193 117 625 450 496;
  • 28) 0,193 117 625 450 496 × 2 = 0 + 0,386 235 250 900 992;
  • 29) 0,386 235 250 900 992 × 2 = 0 + 0,772 470 501 801 984;
  • 30) 0,772 470 501 801 984 × 2 = 1 + 0,544 941 003 603 968;
  • 31) 0,544 941 003 603 968 × 2 = 1 + 0,089 882 007 207 936;
  • 32) 0,089 882 007 207 936 × 2 = 0 + 0,179 764 014 415 872;
  • 33) 0,179 764 014 415 872 × 2 = 0 + 0,359 528 028 831 744;
  • 34) 0,359 528 028 831 744 × 2 = 0 + 0,719 056 057 663 488;
  • 35) 0,719 056 057 663 488 × 2 = 1 + 0,438 112 115 326 976;
  • 36) 0,438 112 115 326 976 × 2 = 0 + 0,876 224 230 653 952;
  • 37) 0,876 224 230 653 952 × 2 = 1 + 0,752 448 461 307 904;
  • 38) 0,752 448 461 307 904 × 2 = 1 + 0,504 896 922 615 808;
  • 39) 0,504 896 922 615 808 × 2 = 1 + 0,009 793 845 231 616;
  • 40) 0,009 793 845 231 616 × 2 = 0 + 0,019 587 690 463 232;
  • 41) 0,019 587 690 463 232 × 2 = 0 + 0,039 175 380 926 464;
  • 42) 0,039 175 380 926 464 × 2 = 0 + 0,078 350 761 852 928;
  • 43) 0,078 350 761 852 928 × 2 = 0 + 0,156 701 523 705 856;
  • 44) 0,156 701 523 705 856 × 2 = 0 + 0,313 403 047 411 712;
  • 45) 0,313 403 047 411 712 × 2 = 0 + 0,626 806 094 823 424;
  • 46) 0,626 806 094 823 424 × 2 = 1 + 0,253 612 189 646 848;
  • 47) 0,253 612 189 646 848 × 2 = 0 + 0,507 224 379 293 696;
  • 48) 0,507 224 379 293 696 × 2 = 1 + 0,014 448 758 587 392;
  • 49) 0,014 448 758 587 392 × 2 = 0 + 0,028 897 517 174 784;
  • 50) 0,028 897 517 174 784 × 2 = 0 + 0,057 795 034 349 568;
  • 51) 0,057 795 034 349 568 × 2 = 0 + 0,115 590 068 699 136;
  • 52) 0,115 590 068 699 136 × 2 = 0 + 0,231 180 137 398 272;
  • 53) 0,231 180 137 398 272 × 2 = 0 + 0,462 360 274 796 544;
  • 54) 0,462 360 274 796 544 × 2 = 0 + 0,924 720 549 593 088;
  • 55) 0,924 720 549 593 088 × 2 = 1 + 0,849 441 099 186 176;
  • 56) 0,849 441 099 186 176 × 2 = 1 + 0,698 882 198 372 352;
  • 57) 0,698 882 198 372 352 × 2 = 1 + 0,397 764 396 744 704;
  • 58) 0,397 764 396 744 704 × 2 = 0 + 0,795 528 793 489 408;
  • 59) 0,795 528 793 489 408 × 2 = 1 + 0,591 057 586 978 816;
  • 60) 0,591 057 586 978 816 × 2 = 1 + 0,182 115 173 957 632;
  • 61) 0,182 115 173 957 632 × 2 = 0 + 0,364 230 347 915 264;
  • 62) 0,364 230 347 915 264 × 2 = 0 + 0,728 460 695 830 528;
  • 63) 0,728 460 695 830 528 × 2 = 1 + 0,456 921 391 661 056;
  • 64) 0,456 921 391 661 056 × 2 = 0 + 0,913 842 783 322 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 432 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0101 0000 0011 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100