-0,000 282 005 914 446 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 446(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 446(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 446| = 0,000 282 005 914 446


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 446.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 446 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 892;
  • 2) 0,000 564 011 828 892 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 784;
  • 3) 0,001 128 023 657 784 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 568;
  • 4) 0,002 256 047 315 568 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 136;
  • 5) 0,004 512 094 631 136 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 272;
  • 6) 0,009 024 189 262 272 × 2 = 0 + 0,018 048 378 524 544;
  • 7) 0,018 048 378 524 544 × 2 = 0 + 0,036 096 757 049 088;
  • 8) 0,036 096 757 049 088 × 2 = 0 + 0,072 193 514 098 176;
  • 9) 0,072 193 514 098 176 × 2 = 0 + 0,144 387 028 196 352;
  • 10) 0,144 387 028 196 352 × 2 = 0 + 0,288 774 056 392 704;
  • 11) 0,288 774 056 392 704 × 2 = 0 + 0,577 548 112 785 408;
  • 12) 0,577 548 112 785 408 × 2 = 1 + 0,155 096 225 570 816;
  • 13) 0,155 096 225 570 816 × 2 = 0 + 0,310 192 451 141 632;
  • 14) 0,310 192 451 141 632 × 2 = 0 + 0,620 384 902 283 264;
  • 15) 0,620 384 902 283 264 × 2 = 1 + 0,240 769 804 566 528;
  • 16) 0,240 769 804 566 528 × 2 = 0 + 0,481 539 609 133 056;
  • 17) 0,481 539 609 133 056 × 2 = 0 + 0,963 079 218 266 112;
  • 18) 0,963 079 218 266 112 × 2 = 1 + 0,926 158 436 532 224;
  • 19) 0,926 158 436 532 224 × 2 = 1 + 0,852 316 873 064 448;
  • 20) 0,852 316 873 064 448 × 2 = 1 + 0,704 633 746 128 896;
  • 21) 0,704 633 746 128 896 × 2 = 1 + 0,409 267 492 257 792;
  • 22) 0,409 267 492 257 792 × 2 = 0 + 0,818 534 984 515 584;
  • 23) 0,818 534 984 515 584 × 2 = 1 + 0,637 069 969 031 168;
  • 24) 0,637 069 969 031 168 × 2 = 1 + 0,274 139 938 062 336;
  • 25) 0,274 139 938 062 336 × 2 = 0 + 0,548 279 876 124 672;
  • 26) 0,548 279 876 124 672 × 2 = 1 + 0,096 559 752 249 344;
  • 27) 0,096 559 752 249 344 × 2 = 0 + 0,193 119 504 498 688;
  • 28) 0,193 119 504 498 688 × 2 = 0 + 0,386 239 008 997 376;
  • 29) 0,386 239 008 997 376 × 2 = 0 + 0,772 478 017 994 752;
  • 30) 0,772 478 017 994 752 × 2 = 1 + 0,544 956 035 989 504;
  • 31) 0,544 956 035 989 504 × 2 = 1 + 0,089 912 071 979 008;
  • 32) 0,089 912 071 979 008 × 2 = 0 + 0,179 824 143 958 016;
  • 33) 0,179 824 143 958 016 × 2 = 0 + 0,359 648 287 916 032;
  • 34) 0,359 648 287 916 032 × 2 = 0 + 0,719 296 575 832 064;
  • 35) 0,719 296 575 832 064 × 2 = 1 + 0,438 593 151 664 128;
  • 36) 0,438 593 151 664 128 × 2 = 0 + 0,877 186 303 328 256;
  • 37) 0,877 186 303 328 256 × 2 = 1 + 0,754 372 606 656 512;
  • 38) 0,754 372 606 656 512 × 2 = 1 + 0,508 745 213 313 024;
  • 39) 0,508 745 213 313 024 × 2 = 1 + 0,017 490 426 626 048;
  • 40) 0,017 490 426 626 048 × 2 = 0 + 0,034 980 853 252 096;
  • 41) 0,034 980 853 252 096 × 2 = 0 + 0,069 961 706 504 192;
  • 42) 0,069 961 706 504 192 × 2 = 0 + 0,139 923 413 008 384;
  • 43) 0,139 923 413 008 384 × 2 = 0 + 0,279 846 826 016 768;
  • 44) 0,279 846 826 016 768 × 2 = 0 + 0,559 693 652 033 536;
  • 45) 0,559 693 652 033 536 × 2 = 1 + 0,119 387 304 067 072;
  • 46) 0,119 387 304 067 072 × 2 = 0 + 0,238 774 608 134 144;
  • 47) 0,238 774 608 134 144 × 2 = 0 + 0,477 549 216 268 288;
  • 48) 0,477 549 216 268 288 × 2 = 0 + 0,955 098 432 536 576;
  • 49) 0,955 098 432 536 576 × 2 = 1 + 0,910 196 865 073 152;
  • 50) 0,910 196 865 073 152 × 2 = 1 + 0,820 393 730 146 304;
  • 51) 0,820 393 730 146 304 × 2 = 1 + 0,640 787 460 292 608;
  • 52) 0,640 787 460 292 608 × 2 = 1 + 0,281 574 920 585 216;
  • 53) 0,281 574 920 585 216 × 2 = 0 + 0,563 149 841 170 432;
  • 54) 0,563 149 841 170 432 × 2 = 1 + 0,126 299 682 340 864;
  • 55) 0,126 299 682 340 864 × 2 = 0 + 0,252 599 364 681 728;
  • 56) 0,252 599 364 681 728 × 2 = 0 + 0,505 198 729 363 456;
  • 57) 0,505 198 729 363 456 × 2 = 1 + 0,010 397 458 726 912;
  • 58) 0,010 397 458 726 912 × 2 = 0 + 0,020 794 917 453 824;
  • 59) 0,020 794 917 453 824 × 2 = 0 + 0,041 589 834 907 648;
  • 60) 0,041 589 834 907 648 × 2 = 0 + 0,083 179 669 815 296;
  • 61) 0,083 179 669 815 296 × 2 = 0 + 0,166 359 339 630 592;
  • 62) 0,166 359 339 630 592 × 2 = 0 + 0,332 718 679 261 184;
  • 63) 0,332 718 679 261 184 × 2 = 0 + 0,665 437 358 522 368;
  • 64) 0,665 437 358 522 368 × 2 = 1 + 0,330 874 717 044 736;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 446(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 446(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 446(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 446 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1000 1111 0100 1000 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 41 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100