-0,000 282 005 914 456 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 456(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 456(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 456| = 0,000 282 005 914 456


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 456.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 456 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 912;
  • 2) 0,000 564 011 828 912 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 824;
  • 3) 0,001 128 023 657 824 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 648;
  • 4) 0,002 256 047 315 648 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 296;
  • 5) 0,004 512 094 631 296 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 592;
  • 6) 0,009 024 189 262 592 × 2 = 0 + 0,018 048 378 525 184;
  • 7) 0,018 048 378 525 184 × 2 = 0 + 0,036 096 757 050 368;
  • 8) 0,036 096 757 050 368 × 2 = 0 + 0,072 193 514 100 736;
  • 9) 0,072 193 514 100 736 × 2 = 0 + 0,144 387 028 201 472;
  • 10) 0,144 387 028 201 472 × 2 = 0 + 0,288 774 056 402 944;
  • 11) 0,288 774 056 402 944 × 2 = 0 + 0,577 548 112 805 888;
  • 12) 0,577 548 112 805 888 × 2 = 1 + 0,155 096 225 611 776;
  • 13) 0,155 096 225 611 776 × 2 = 0 + 0,310 192 451 223 552;
  • 14) 0,310 192 451 223 552 × 2 = 0 + 0,620 384 902 447 104;
  • 15) 0,620 384 902 447 104 × 2 = 1 + 0,240 769 804 894 208;
  • 16) 0,240 769 804 894 208 × 2 = 0 + 0,481 539 609 788 416;
  • 17) 0,481 539 609 788 416 × 2 = 0 + 0,963 079 219 576 832;
  • 18) 0,963 079 219 576 832 × 2 = 1 + 0,926 158 439 153 664;
  • 19) 0,926 158 439 153 664 × 2 = 1 + 0,852 316 878 307 328;
  • 20) 0,852 316 878 307 328 × 2 = 1 + 0,704 633 756 614 656;
  • 21) 0,704 633 756 614 656 × 2 = 1 + 0,409 267 513 229 312;
  • 22) 0,409 267 513 229 312 × 2 = 0 + 0,818 535 026 458 624;
  • 23) 0,818 535 026 458 624 × 2 = 1 + 0,637 070 052 917 248;
  • 24) 0,637 070 052 917 248 × 2 = 1 + 0,274 140 105 834 496;
  • 25) 0,274 140 105 834 496 × 2 = 0 + 0,548 280 211 668 992;
  • 26) 0,548 280 211 668 992 × 2 = 1 + 0,096 560 423 337 984;
  • 27) 0,096 560 423 337 984 × 2 = 0 + 0,193 120 846 675 968;
  • 28) 0,193 120 846 675 968 × 2 = 0 + 0,386 241 693 351 936;
  • 29) 0,386 241 693 351 936 × 2 = 0 + 0,772 483 386 703 872;
  • 30) 0,772 483 386 703 872 × 2 = 1 + 0,544 966 773 407 744;
  • 31) 0,544 966 773 407 744 × 2 = 1 + 0,089 933 546 815 488;
  • 32) 0,089 933 546 815 488 × 2 = 0 + 0,179 867 093 630 976;
  • 33) 0,179 867 093 630 976 × 2 = 0 + 0,359 734 187 261 952;
  • 34) 0,359 734 187 261 952 × 2 = 0 + 0,719 468 374 523 904;
  • 35) 0,719 468 374 523 904 × 2 = 1 + 0,438 936 749 047 808;
  • 36) 0,438 936 749 047 808 × 2 = 0 + 0,877 873 498 095 616;
  • 37) 0,877 873 498 095 616 × 2 = 1 + 0,755 746 996 191 232;
  • 38) 0,755 746 996 191 232 × 2 = 1 + 0,511 493 992 382 464;
  • 39) 0,511 493 992 382 464 × 2 = 1 + 0,022 987 984 764 928;
  • 40) 0,022 987 984 764 928 × 2 = 0 + 0,045 975 969 529 856;
  • 41) 0,045 975 969 529 856 × 2 = 0 + 0,091 951 939 059 712;
  • 42) 0,091 951 939 059 712 × 2 = 0 + 0,183 903 878 119 424;
  • 43) 0,183 903 878 119 424 × 2 = 0 + 0,367 807 756 238 848;
  • 44) 0,367 807 756 238 848 × 2 = 0 + 0,735 615 512 477 696;
  • 45) 0,735 615 512 477 696 × 2 = 1 + 0,471 231 024 955 392;
  • 46) 0,471 231 024 955 392 × 2 = 0 + 0,942 462 049 910 784;
  • 47) 0,942 462 049 910 784 × 2 = 1 + 0,884 924 099 821 568;
  • 48) 0,884 924 099 821 568 × 2 = 1 + 0,769 848 199 643 136;
  • 49) 0,769 848 199 643 136 × 2 = 1 + 0,539 696 399 286 272;
  • 50) 0,539 696 399 286 272 × 2 = 1 + 0,079 392 798 572 544;
  • 51) 0,079 392 798 572 544 × 2 = 0 + 0,158 785 597 145 088;
  • 52) 0,158 785 597 145 088 × 2 = 0 + 0,317 571 194 290 176;
  • 53) 0,317 571 194 290 176 × 2 = 0 + 0,635 142 388 580 352;
  • 54) 0,635 142 388 580 352 × 2 = 1 + 0,270 284 777 160 704;
  • 55) 0,270 284 777 160 704 × 2 = 0 + 0,540 569 554 321 408;
  • 56) 0,540 569 554 321 408 × 2 = 1 + 0,081 139 108 642 816;
  • 57) 0,081 139 108 642 816 × 2 = 0 + 0,162 278 217 285 632;
  • 58) 0,162 278 217 285 632 × 2 = 0 + 0,324 556 434 571 264;
  • 59) 0,324 556 434 571 264 × 2 = 0 + 0,649 112 869 142 528;
  • 60) 0,649 112 869 142 528 × 2 = 1 + 0,298 225 738 285 056;
  • 61) 0,298 225 738 285 056 × 2 = 0 + 0,596 451 476 570 112;
  • 62) 0,596 451 476 570 112 × 2 = 1 + 0,192 902 953 140 224;
  • 63) 0,192 902 953 140 224 × 2 = 0 + 0,385 805 906 280 448;
  • 64) 0,385 805 906 280 448 × 2 = 0 + 0,771 611 812 560 896;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 456(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 456(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 456(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 456 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 1100 0101 0001 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 377 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100