-0,000 282 005 914 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 47| = 0,000 282 005 914 47


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 47 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 94;
  • 2) 0,000 564 011 828 94 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 88;
  • 3) 0,001 128 023 657 88 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 76;
  • 4) 0,002 256 047 315 76 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 52;
  • 5) 0,004 512 094 631 52 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 04;
  • 6) 0,009 024 189 263 04 × 2 = 0 + 0,018 048 378 526 08;
  • 7) 0,018 048 378 526 08 × 2 = 0 + 0,036 096 757 052 16;
  • 8) 0,036 096 757 052 16 × 2 = 0 + 0,072 193 514 104 32;
  • 9) 0,072 193 514 104 32 × 2 = 0 + 0,144 387 028 208 64;
  • 10) 0,144 387 028 208 64 × 2 = 0 + 0,288 774 056 417 28;
  • 11) 0,288 774 056 417 28 × 2 = 0 + 0,577 548 112 834 56;
  • 12) 0,577 548 112 834 56 × 2 = 1 + 0,155 096 225 669 12;
  • 13) 0,155 096 225 669 12 × 2 = 0 + 0,310 192 451 338 24;
  • 14) 0,310 192 451 338 24 × 2 = 0 + 0,620 384 902 676 48;
  • 15) 0,620 384 902 676 48 × 2 = 1 + 0,240 769 805 352 96;
  • 16) 0,240 769 805 352 96 × 2 = 0 + 0,481 539 610 705 92;
  • 17) 0,481 539 610 705 92 × 2 = 0 + 0,963 079 221 411 84;
  • 18) 0,963 079 221 411 84 × 2 = 1 + 0,926 158 442 823 68;
  • 19) 0,926 158 442 823 68 × 2 = 1 + 0,852 316 885 647 36;
  • 20) 0,852 316 885 647 36 × 2 = 1 + 0,704 633 771 294 72;
  • 21) 0,704 633 771 294 72 × 2 = 1 + 0,409 267 542 589 44;
  • 22) 0,409 267 542 589 44 × 2 = 0 + 0,818 535 085 178 88;
  • 23) 0,818 535 085 178 88 × 2 = 1 + 0,637 070 170 357 76;
  • 24) 0,637 070 170 357 76 × 2 = 1 + 0,274 140 340 715 52;
  • 25) 0,274 140 340 715 52 × 2 = 0 + 0,548 280 681 431 04;
  • 26) 0,548 280 681 431 04 × 2 = 1 + 0,096 561 362 862 08;
  • 27) 0,096 561 362 862 08 × 2 = 0 + 0,193 122 725 724 16;
  • 28) 0,193 122 725 724 16 × 2 = 0 + 0,386 245 451 448 32;
  • 29) 0,386 245 451 448 32 × 2 = 0 + 0,772 490 902 896 64;
  • 30) 0,772 490 902 896 64 × 2 = 1 + 0,544 981 805 793 28;
  • 31) 0,544 981 805 793 28 × 2 = 1 + 0,089 963 611 586 56;
  • 32) 0,089 963 611 586 56 × 2 = 0 + 0,179 927 223 173 12;
  • 33) 0,179 927 223 173 12 × 2 = 0 + 0,359 854 446 346 24;
  • 34) 0,359 854 446 346 24 × 2 = 0 + 0,719 708 892 692 48;
  • 35) 0,719 708 892 692 48 × 2 = 1 + 0,439 417 785 384 96;
  • 36) 0,439 417 785 384 96 × 2 = 0 + 0,878 835 570 769 92;
  • 37) 0,878 835 570 769 92 × 2 = 1 + 0,757 671 141 539 84;
  • 38) 0,757 671 141 539 84 × 2 = 1 + 0,515 342 283 079 68;
  • 39) 0,515 342 283 079 68 × 2 = 1 + 0,030 684 566 159 36;
  • 40) 0,030 684 566 159 36 × 2 = 0 + 0,061 369 132 318 72;
  • 41) 0,061 369 132 318 72 × 2 = 0 + 0,122 738 264 637 44;
  • 42) 0,122 738 264 637 44 × 2 = 0 + 0,245 476 529 274 88;
  • 43) 0,245 476 529 274 88 × 2 = 0 + 0,490 953 058 549 76;
  • 44) 0,490 953 058 549 76 × 2 = 0 + 0,981 906 117 099 52;
  • 45) 0,981 906 117 099 52 × 2 = 1 + 0,963 812 234 199 04;
  • 46) 0,963 812 234 199 04 × 2 = 1 + 0,927 624 468 398 08;
  • 47) 0,927 624 468 398 08 × 2 = 1 + 0,855 248 936 796 16;
  • 48) 0,855 248 936 796 16 × 2 = 1 + 0,710 497 873 592 32;
  • 49) 0,710 497 873 592 32 × 2 = 1 + 0,420 995 747 184 64;
  • 50) 0,420 995 747 184 64 × 2 = 0 + 0,841 991 494 369 28;
  • 51) 0,841 991 494 369 28 × 2 = 1 + 0,683 982 988 738 56;
  • 52) 0,683 982 988 738 56 × 2 = 1 + 0,367 965 977 477 12;
  • 53) 0,367 965 977 477 12 × 2 = 0 + 0,735 931 954 954 24;
  • 54) 0,735 931 954 954 24 × 2 = 1 + 0,471 863 909 908 48;
  • 55) 0,471 863 909 908 48 × 2 = 0 + 0,943 727 819 816 96;
  • 56) 0,943 727 819 816 96 × 2 = 1 + 0,887 455 639 633 92;
  • 57) 0,887 455 639 633 92 × 2 = 1 + 0,774 911 279 267 84;
  • 58) 0,774 911 279 267 84 × 2 = 1 + 0,549 822 558 535 68;
  • 59) 0,549 822 558 535 68 × 2 = 1 + 0,099 645 117 071 36;
  • 60) 0,099 645 117 071 36 × 2 = 0 + 0,199 290 234 142 72;
  • 61) 0,199 290 234 142 72 × 2 = 0 + 0,398 580 468 285 44;
  • 62) 0,398 580 468 285 44 × 2 = 0 + 0,797 160 936 570 88;
  • 63) 0,797 160 936 570 88 × 2 = 1 + 0,594 321 873 141 76;
  • 64) 0,594 321 873 141 76 × 2 = 1 + 0,188 643 746 283 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 1011 0101 1110 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100