-0,000 282 005 914 473 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 473(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 473(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 473| = 0,000 282 005 914 473


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 473.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 473 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 946;
  • 2) 0,000 564 011 828 946 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 892;
  • 3) 0,001 128 023 657 892 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 784;
  • 4) 0,002 256 047 315 784 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 568;
  • 5) 0,004 512 094 631 568 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 136;
  • 6) 0,009 024 189 263 136 × 2 = 0 + 0,018 048 378 526 272;
  • 7) 0,018 048 378 526 272 × 2 = 0 + 0,036 096 757 052 544;
  • 8) 0,036 096 757 052 544 × 2 = 0 + 0,072 193 514 105 088;
  • 9) 0,072 193 514 105 088 × 2 = 0 + 0,144 387 028 210 176;
  • 10) 0,144 387 028 210 176 × 2 = 0 + 0,288 774 056 420 352;
  • 11) 0,288 774 056 420 352 × 2 = 0 + 0,577 548 112 840 704;
  • 12) 0,577 548 112 840 704 × 2 = 1 + 0,155 096 225 681 408;
  • 13) 0,155 096 225 681 408 × 2 = 0 + 0,310 192 451 362 816;
  • 14) 0,310 192 451 362 816 × 2 = 0 + 0,620 384 902 725 632;
  • 15) 0,620 384 902 725 632 × 2 = 1 + 0,240 769 805 451 264;
  • 16) 0,240 769 805 451 264 × 2 = 0 + 0,481 539 610 902 528;
  • 17) 0,481 539 610 902 528 × 2 = 0 + 0,963 079 221 805 056;
  • 18) 0,963 079 221 805 056 × 2 = 1 + 0,926 158 443 610 112;
  • 19) 0,926 158 443 610 112 × 2 = 1 + 0,852 316 887 220 224;
  • 20) 0,852 316 887 220 224 × 2 = 1 + 0,704 633 774 440 448;
  • 21) 0,704 633 774 440 448 × 2 = 1 + 0,409 267 548 880 896;
  • 22) 0,409 267 548 880 896 × 2 = 0 + 0,818 535 097 761 792;
  • 23) 0,818 535 097 761 792 × 2 = 1 + 0,637 070 195 523 584;
  • 24) 0,637 070 195 523 584 × 2 = 1 + 0,274 140 391 047 168;
  • 25) 0,274 140 391 047 168 × 2 = 0 + 0,548 280 782 094 336;
  • 26) 0,548 280 782 094 336 × 2 = 1 + 0,096 561 564 188 672;
  • 27) 0,096 561 564 188 672 × 2 = 0 + 0,193 123 128 377 344;
  • 28) 0,193 123 128 377 344 × 2 = 0 + 0,386 246 256 754 688;
  • 29) 0,386 246 256 754 688 × 2 = 0 + 0,772 492 513 509 376;
  • 30) 0,772 492 513 509 376 × 2 = 1 + 0,544 985 027 018 752;
  • 31) 0,544 985 027 018 752 × 2 = 1 + 0,089 970 054 037 504;
  • 32) 0,089 970 054 037 504 × 2 = 0 + 0,179 940 108 075 008;
  • 33) 0,179 940 108 075 008 × 2 = 0 + 0,359 880 216 150 016;
  • 34) 0,359 880 216 150 016 × 2 = 0 + 0,719 760 432 300 032;
  • 35) 0,719 760 432 300 032 × 2 = 1 + 0,439 520 864 600 064;
  • 36) 0,439 520 864 600 064 × 2 = 0 + 0,879 041 729 200 128;
  • 37) 0,879 041 729 200 128 × 2 = 1 + 0,758 083 458 400 256;
  • 38) 0,758 083 458 400 256 × 2 = 1 + 0,516 166 916 800 512;
  • 39) 0,516 166 916 800 512 × 2 = 1 + 0,032 333 833 601 024;
  • 40) 0,032 333 833 601 024 × 2 = 0 + 0,064 667 667 202 048;
  • 41) 0,064 667 667 202 048 × 2 = 0 + 0,129 335 334 404 096;
  • 42) 0,129 335 334 404 096 × 2 = 0 + 0,258 670 668 808 192;
  • 43) 0,258 670 668 808 192 × 2 = 0 + 0,517 341 337 616 384;
  • 44) 0,517 341 337 616 384 × 2 = 1 + 0,034 682 675 232 768;
  • 45) 0,034 682 675 232 768 × 2 = 0 + 0,069 365 350 465 536;
  • 46) 0,069 365 350 465 536 × 2 = 0 + 0,138 730 700 931 072;
  • 47) 0,138 730 700 931 072 × 2 = 0 + 0,277 461 401 862 144;
  • 48) 0,277 461 401 862 144 × 2 = 0 + 0,554 922 803 724 288;
  • 49) 0,554 922 803 724 288 × 2 = 1 + 0,109 845 607 448 576;
  • 50) 0,109 845 607 448 576 × 2 = 0 + 0,219 691 214 897 152;
  • 51) 0,219 691 214 897 152 × 2 = 0 + 0,439 382 429 794 304;
  • 52) 0,439 382 429 794 304 × 2 = 0 + 0,878 764 859 588 608;
  • 53) 0,878 764 859 588 608 × 2 = 1 + 0,757 529 719 177 216;
  • 54) 0,757 529 719 177 216 × 2 = 1 + 0,515 059 438 354 432;
  • 55) 0,515 059 438 354 432 × 2 = 1 + 0,030 118 876 708 864;
  • 56) 0,030 118 876 708 864 × 2 = 0 + 0,060 237 753 417 728;
  • 57) 0,060 237 753 417 728 × 2 = 0 + 0,120 475 506 835 456;
  • 58) 0,120 475 506 835 456 × 2 = 0 + 0,240 951 013 670 912;
  • 59) 0,240 951 013 670 912 × 2 = 0 + 0,481 902 027 341 824;
  • 60) 0,481 902 027 341 824 × 2 = 0 + 0,963 804 054 683 648;
  • 61) 0,963 804 054 683 648 × 2 = 1 + 0,927 608 109 367 296;
  • 62) 0,927 608 109 367 296 × 2 = 1 + 0,855 216 218 734 592;
  • 63) 0,855 216 218 734 592 × 2 = 1 + 0,710 432 437 469 184;
  • 64) 0,710 432 437 469 184 × 2 = 1 + 0,420 864 874 938 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 473(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 473(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 473(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 473 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0000 1000 1110 0000 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 567 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100