-0,000 282 005 914 481 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 481(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 481(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 481| = 0,000 282 005 914 481


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 481.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 481 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 962;
  • 2) 0,000 564 011 828 962 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 924;
  • 3) 0,001 128 023 657 924 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 848;
  • 4) 0,002 256 047 315 848 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 696;
  • 5) 0,004 512 094 631 696 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 392;
  • 6) 0,009 024 189 263 392 × 2 = 0 + 0,018 048 378 526 784;
  • 7) 0,018 048 378 526 784 × 2 = 0 + 0,036 096 757 053 568;
  • 8) 0,036 096 757 053 568 × 2 = 0 + 0,072 193 514 107 136;
  • 9) 0,072 193 514 107 136 × 2 = 0 + 0,144 387 028 214 272;
  • 10) 0,144 387 028 214 272 × 2 = 0 + 0,288 774 056 428 544;
  • 11) 0,288 774 056 428 544 × 2 = 0 + 0,577 548 112 857 088;
  • 12) 0,577 548 112 857 088 × 2 = 1 + 0,155 096 225 714 176;
  • 13) 0,155 096 225 714 176 × 2 = 0 + 0,310 192 451 428 352;
  • 14) 0,310 192 451 428 352 × 2 = 0 + 0,620 384 902 856 704;
  • 15) 0,620 384 902 856 704 × 2 = 1 + 0,240 769 805 713 408;
  • 16) 0,240 769 805 713 408 × 2 = 0 + 0,481 539 611 426 816;
  • 17) 0,481 539 611 426 816 × 2 = 0 + 0,963 079 222 853 632;
  • 18) 0,963 079 222 853 632 × 2 = 1 + 0,926 158 445 707 264;
  • 19) 0,926 158 445 707 264 × 2 = 1 + 0,852 316 891 414 528;
  • 20) 0,852 316 891 414 528 × 2 = 1 + 0,704 633 782 829 056;
  • 21) 0,704 633 782 829 056 × 2 = 1 + 0,409 267 565 658 112;
  • 22) 0,409 267 565 658 112 × 2 = 0 + 0,818 535 131 316 224;
  • 23) 0,818 535 131 316 224 × 2 = 1 + 0,637 070 262 632 448;
  • 24) 0,637 070 262 632 448 × 2 = 1 + 0,274 140 525 264 896;
  • 25) 0,274 140 525 264 896 × 2 = 0 + 0,548 281 050 529 792;
  • 26) 0,548 281 050 529 792 × 2 = 1 + 0,096 562 101 059 584;
  • 27) 0,096 562 101 059 584 × 2 = 0 + 0,193 124 202 119 168;
  • 28) 0,193 124 202 119 168 × 2 = 0 + 0,386 248 404 238 336;
  • 29) 0,386 248 404 238 336 × 2 = 0 + 0,772 496 808 476 672;
  • 30) 0,772 496 808 476 672 × 2 = 1 + 0,544 993 616 953 344;
  • 31) 0,544 993 616 953 344 × 2 = 1 + 0,089 987 233 906 688;
  • 32) 0,089 987 233 906 688 × 2 = 0 + 0,179 974 467 813 376;
  • 33) 0,179 974 467 813 376 × 2 = 0 + 0,359 948 935 626 752;
  • 34) 0,359 948 935 626 752 × 2 = 0 + 0,719 897 871 253 504;
  • 35) 0,719 897 871 253 504 × 2 = 1 + 0,439 795 742 507 008;
  • 36) 0,439 795 742 507 008 × 2 = 0 + 0,879 591 485 014 016;
  • 37) 0,879 591 485 014 016 × 2 = 1 + 0,759 182 970 028 032;
  • 38) 0,759 182 970 028 032 × 2 = 1 + 0,518 365 940 056 064;
  • 39) 0,518 365 940 056 064 × 2 = 1 + 0,036 731 880 112 128;
  • 40) 0,036 731 880 112 128 × 2 = 0 + 0,073 463 760 224 256;
  • 41) 0,073 463 760 224 256 × 2 = 0 + 0,146 927 520 448 512;
  • 42) 0,146 927 520 448 512 × 2 = 0 + 0,293 855 040 897 024;
  • 43) 0,293 855 040 897 024 × 2 = 0 + 0,587 710 081 794 048;
  • 44) 0,587 710 081 794 048 × 2 = 1 + 0,175 420 163 588 096;
  • 45) 0,175 420 163 588 096 × 2 = 0 + 0,350 840 327 176 192;
  • 46) 0,350 840 327 176 192 × 2 = 0 + 0,701 680 654 352 384;
  • 47) 0,701 680 654 352 384 × 2 = 1 + 0,403 361 308 704 768;
  • 48) 0,403 361 308 704 768 × 2 = 0 + 0,806 722 617 409 536;
  • 49) 0,806 722 617 409 536 × 2 = 1 + 0,613 445 234 819 072;
  • 50) 0,613 445 234 819 072 × 2 = 1 + 0,226 890 469 638 144;
  • 51) 0,226 890 469 638 144 × 2 = 0 + 0,453 780 939 276 288;
  • 52) 0,453 780 939 276 288 × 2 = 0 + 0,907 561 878 552 576;
  • 53) 0,907 561 878 552 576 × 2 = 1 + 0,815 123 757 105 152;
  • 54) 0,815 123 757 105 152 × 2 = 1 + 0,630 247 514 210 304;
  • 55) 0,630 247 514 210 304 × 2 = 1 + 0,260 495 028 420 608;
  • 56) 0,260 495 028 420 608 × 2 = 0 + 0,520 990 056 841 216;
  • 57) 0,520 990 056 841 216 × 2 = 1 + 0,041 980 113 682 432;
  • 58) 0,041 980 113 682 432 × 2 = 0 + 0,083 960 227 364 864;
  • 59) 0,083 960 227 364 864 × 2 = 0 + 0,167 920 454 729 728;
  • 60) 0,167 920 454 729 728 × 2 = 0 + 0,335 840 909 459 456;
  • 61) 0,335 840 909 459 456 × 2 = 0 + 0,671 681 818 918 912;
  • 62) 0,671 681 818 918 912 × 2 = 1 + 0,343 363 637 837 824;
  • 63) 0,343 363 637 837 824 × 2 = 0 + 0,686 727 275 675 648;
  • 64) 0,686 727 275 675 648 × 2 = 1 + 0,373 454 551 351 296;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 481(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 481(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 481(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 481 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0010 1100 1110 1000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 567 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100