-0,000 282 005 914 504 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 504(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 504(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 504| = 0,000 282 005 914 504


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 504.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 504 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 008;
  • 2) 0,000 564 011 829 008 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 016;
  • 3) 0,001 128 023 658 016 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 032;
  • 4) 0,002 256 047 316 032 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 064;
  • 5) 0,004 512 094 632 064 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 128;
  • 6) 0,009 024 189 264 128 × 2 = 0 + 0,018 048 378 528 256;
  • 7) 0,018 048 378 528 256 × 2 = 0 + 0,036 096 757 056 512;
  • 8) 0,036 096 757 056 512 × 2 = 0 + 0,072 193 514 113 024;
  • 9) 0,072 193 514 113 024 × 2 = 0 + 0,144 387 028 226 048;
  • 10) 0,144 387 028 226 048 × 2 = 0 + 0,288 774 056 452 096;
  • 11) 0,288 774 056 452 096 × 2 = 0 + 0,577 548 112 904 192;
  • 12) 0,577 548 112 904 192 × 2 = 1 + 0,155 096 225 808 384;
  • 13) 0,155 096 225 808 384 × 2 = 0 + 0,310 192 451 616 768;
  • 14) 0,310 192 451 616 768 × 2 = 0 + 0,620 384 903 233 536;
  • 15) 0,620 384 903 233 536 × 2 = 1 + 0,240 769 806 467 072;
  • 16) 0,240 769 806 467 072 × 2 = 0 + 0,481 539 612 934 144;
  • 17) 0,481 539 612 934 144 × 2 = 0 + 0,963 079 225 868 288;
  • 18) 0,963 079 225 868 288 × 2 = 1 + 0,926 158 451 736 576;
  • 19) 0,926 158 451 736 576 × 2 = 1 + 0,852 316 903 473 152;
  • 20) 0,852 316 903 473 152 × 2 = 1 + 0,704 633 806 946 304;
  • 21) 0,704 633 806 946 304 × 2 = 1 + 0,409 267 613 892 608;
  • 22) 0,409 267 613 892 608 × 2 = 0 + 0,818 535 227 785 216;
  • 23) 0,818 535 227 785 216 × 2 = 1 + 0,637 070 455 570 432;
  • 24) 0,637 070 455 570 432 × 2 = 1 + 0,274 140 911 140 864;
  • 25) 0,274 140 911 140 864 × 2 = 0 + 0,548 281 822 281 728;
  • 26) 0,548 281 822 281 728 × 2 = 1 + 0,096 563 644 563 456;
  • 27) 0,096 563 644 563 456 × 2 = 0 + 0,193 127 289 126 912;
  • 28) 0,193 127 289 126 912 × 2 = 0 + 0,386 254 578 253 824;
  • 29) 0,386 254 578 253 824 × 2 = 0 + 0,772 509 156 507 648;
  • 30) 0,772 509 156 507 648 × 2 = 1 + 0,545 018 313 015 296;
  • 31) 0,545 018 313 015 296 × 2 = 1 + 0,090 036 626 030 592;
  • 32) 0,090 036 626 030 592 × 2 = 0 + 0,180 073 252 061 184;
  • 33) 0,180 073 252 061 184 × 2 = 0 + 0,360 146 504 122 368;
  • 34) 0,360 146 504 122 368 × 2 = 0 + 0,720 293 008 244 736;
  • 35) 0,720 293 008 244 736 × 2 = 1 + 0,440 586 016 489 472;
  • 36) 0,440 586 016 489 472 × 2 = 0 + 0,881 172 032 978 944;
  • 37) 0,881 172 032 978 944 × 2 = 1 + 0,762 344 065 957 888;
  • 38) 0,762 344 065 957 888 × 2 = 1 + 0,524 688 131 915 776;
  • 39) 0,524 688 131 915 776 × 2 = 1 + 0,049 376 263 831 552;
  • 40) 0,049 376 263 831 552 × 2 = 0 + 0,098 752 527 663 104;
  • 41) 0,098 752 527 663 104 × 2 = 0 + 0,197 505 055 326 208;
  • 42) 0,197 505 055 326 208 × 2 = 0 + 0,395 010 110 652 416;
  • 43) 0,395 010 110 652 416 × 2 = 0 + 0,790 020 221 304 832;
  • 44) 0,790 020 221 304 832 × 2 = 1 + 0,580 040 442 609 664;
  • 45) 0,580 040 442 609 664 × 2 = 1 + 0,160 080 885 219 328;
  • 46) 0,160 080 885 219 328 × 2 = 0 + 0,320 161 770 438 656;
  • 47) 0,320 161 770 438 656 × 2 = 0 + 0,640 323 540 877 312;
  • 48) 0,640 323 540 877 312 × 2 = 1 + 0,280 647 081 754 624;
  • 49) 0,280 647 081 754 624 × 2 = 0 + 0,561 294 163 509 248;
  • 50) 0,561 294 163 509 248 × 2 = 1 + 0,122 588 327 018 496;
  • 51) 0,122 588 327 018 496 × 2 = 0 + 0,245 176 654 036 992;
  • 52) 0,245 176 654 036 992 × 2 = 0 + 0,490 353 308 073 984;
  • 53) 0,490 353 308 073 984 × 2 = 0 + 0,980 706 616 147 968;
  • 54) 0,980 706 616 147 968 × 2 = 1 + 0,961 413 232 295 936;
  • 55) 0,961 413 232 295 936 × 2 = 1 + 0,922 826 464 591 872;
  • 56) 0,922 826 464 591 872 × 2 = 1 + 0,845 652 929 183 744;
  • 57) 0,845 652 929 183 744 × 2 = 1 + 0,691 305 858 367 488;
  • 58) 0,691 305 858 367 488 × 2 = 1 + 0,382 611 716 734 976;
  • 59) 0,382 611 716 734 976 × 2 = 0 + 0,765 223 433 469 952;
  • 60) 0,765 223 433 469 952 × 2 = 1 + 0,530 446 866 939 904;
  • 61) 0,530 446 866 939 904 × 2 = 1 + 0,060 893 733 879 808;
  • 62) 0,060 893 733 879 808 × 2 = 0 + 0,121 787 467 759 616;
  • 63) 0,121 787 467 759 616 × 2 = 0 + 0,243 574 935 519 232;
  • 64) 0,243 574 935 519 232 × 2 = 0 + 0,487 149 871 038 464;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 504(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 504(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 504(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 504 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 0100 0111 1101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 439 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100