-0,000 282 005 914 506 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 506(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 506(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 506| = 0,000 282 005 914 506


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 506.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 506 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 012;
  • 2) 0,000 564 011 829 012 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 024;
  • 3) 0,001 128 023 658 024 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 048;
  • 4) 0,002 256 047 316 048 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 096;
  • 5) 0,004 512 094 632 096 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 192;
  • 6) 0,009 024 189 264 192 × 2 = 0 + 0,018 048 378 528 384;
  • 7) 0,018 048 378 528 384 × 2 = 0 + 0,036 096 757 056 768;
  • 8) 0,036 096 757 056 768 × 2 = 0 + 0,072 193 514 113 536;
  • 9) 0,072 193 514 113 536 × 2 = 0 + 0,144 387 028 227 072;
  • 10) 0,144 387 028 227 072 × 2 = 0 + 0,288 774 056 454 144;
  • 11) 0,288 774 056 454 144 × 2 = 0 + 0,577 548 112 908 288;
  • 12) 0,577 548 112 908 288 × 2 = 1 + 0,155 096 225 816 576;
  • 13) 0,155 096 225 816 576 × 2 = 0 + 0,310 192 451 633 152;
  • 14) 0,310 192 451 633 152 × 2 = 0 + 0,620 384 903 266 304;
  • 15) 0,620 384 903 266 304 × 2 = 1 + 0,240 769 806 532 608;
  • 16) 0,240 769 806 532 608 × 2 = 0 + 0,481 539 613 065 216;
  • 17) 0,481 539 613 065 216 × 2 = 0 + 0,963 079 226 130 432;
  • 18) 0,963 079 226 130 432 × 2 = 1 + 0,926 158 452 260 864;
  • 19) 0,926 158 452 260 864 × 2 = 1 + 0,852 316 904 521 728;
  • 20) 0,852 316 904 521 728 × 2 = 1 + 0,704 633 809 043 456;
  • 21) 0,704 633 809 043 456 × 2 = 1 + 0,409 267 618 086 912;
  • 22) 0,409 267 618 086 912 × 2 = 0 + 0,818 535 236 173 824;
  • 23) 0,818 535 236 173 824 × 2 = 1 + 0,637 070 472 347 648;
  • 24) 0,637 070 472 347 648 × 2 = 1 + 0,274 140 944 695 296;
  • 25) 0,274 140 944 695 296 × 2 = 0 + 0,548 281 889 390 592;
  • 26) 0,548 281 889 390 592 × 2 = 1 + 0,096 563 778 781 184;
  • 27) 0,096 563 778 781 184 × 2 = 0 + 0,193 127 557 562 368;
  • 28) 0,193 127 557 562 368 × 2 = 0 + 0,386 255 115 124 736;
  • 29) 0,386 255 115 124 736 × 2 = 0 + 0,772 510 230 249 472;
  • 30) 0,772 510 230 249 472 × 2 = 1 + 0,545 020 460 498 944;
  • 31) 0,545 020 460 498 944 × 2 = 1 + 0,090 040 920 997 888;
  • 32) 0,090 040 920 997 888 × 2 = 0 + 0,180 081 841 995 776;
  • 33) 0,180 081 841 995 776 × 2 = 0 + 0,360 163 683 991 552;
  • 34) 0,360 163 683 991 552 × 2 = 0 + 0,720 327 367 983 104;
  • 35) 0,720 327 367 983 104 × 2 = 1 + 0,440 654 735 966 208;
  • 36) 0,440 654 735 966 208 × 2 = 0 + 0,881 309 471 932 416;
  • 37) 0,881 309 471 932 416 × 2 = 1 + 0,762 618 943 864 832;
  • 38) 0,762 618 943 864 832 × 2 = 1 + 0,525 237 887 729 664;
  • 39) 0,525 237 887 729 664 × 2 = 1 + 0,050 475 775 459 328;
  • 40) 0,050 475 775 459 328 × 2 = 0 + 0,100 951 550 918 656;
  • 41) 0,100 951 550 918 656 × 2 = 0 + 0,201 903 101 837 312;
  • 42) 0,201 903 101 837 312 × 2 = 0 + 0,403 806 203 674 624;
  • 43) 0,403 806 203 674 624 × 2 = 0 + 0,807 612 407 349 248;
  • 44) 0,807 612 407 349 248 × 2 = 1 + 0,615 224 814 698 496;
  • 45) 0,615 224 814 698 496 × 2 = 1 + 0,230 449 629 396 992;
  • 46) 0,230 449 629 396 992 × 2 = 0 + 0,460 899 258 793 984;
  • 47) 0,460 899 258 793 984 × 2 = 0 + 0,921 798 517 587 968;
  • 48) 0,921 798 517 587 968 × 2 = 1 + 0,843 597 035 175 936;
  • 49) 0,843 597 035 175 936 × 2 = 1 + 0,687 194 070 351 872;
  • 50) 0,687 194 070 351 872 × 2 = 1 + 0,374 388 140 703 744;
  • 51) 0,374 388 140 703 744 × 2 = 0 + 0,748 776 281 407 488;
  • 52) 0,748 776 281 407 488 × 2 = 1 + 0,497 552 562 814 976;
  • 53) 0,497 552 562 814 976 × 2 = 0 + 0,995 105 125 629 952;
  • 54) 0,995 105 125 629 952 × 2 = 1 + 0,990 210 251 259 904;
  • 55) 0,990 210 251 259 904 × 2 = 1 + 0,980 420 502 519 808;
  • 56) 0,980 420 502 519 808 × 2 = 1 + 0,960 841 005 039 616;
  • 57) 0,960 841 005 039 616 × 2 = 1 + 0,921 682 010 079 232;
  • 58) 0,921 682 010 079 232 × 2 = 1 + 0,843 364 020 158 464;
  • 59) 0,843 364 020 158 464 × 2 = 1 + 0,686 728 040 316 928;
  • 60) 0,686 728 040 316 928 × 2 = 1 + 0,373 456 080 633 856;
  • 61) 0,373 456 080 633 856 × 2 = 0 + 0,746 912 161 267 712;
  • 62) 0,746 912 161 267 712 × 2 = 1 + 0,493 824 322 535 424;
  • 63) 0,493 824 322 535 424 × 2 = 0 + 0,987 648 645 070 848;
  • 64) 0,987 648 645 070 848 × 2 = 1 + 0,975 297 290 141 696;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 506(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 506(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 506(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 506 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1001 1101 0111 1111 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 449 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100