-0,000 282 005 914 51 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 51(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 51(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 51| = 0,000 282 005 914 51


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 51.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 51 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 02;
  • 2) 0,000 564 011 829 02 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 04;
  • 3) 0,001 128 023 658 04 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 08;
  • 4) 0,002 256 047 316 08 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 16;
  • 5) 0,004 512 094 632 16 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 32;
  • 6) 0,009 024 189 264 32 × 2 = 0 + 0,018 048 378 528 64;
  • 7) 0,018 048 378 528 64 × 2 = 0 + 0,036 096 757 057 28;
  • 8) 0,036 096 757 057 28 × 2 = 0 + 0,072 193 514 114 56;
  • 9) 0,072 193 514 114 56 × 2 = 0 + 0,144 387 028 229 12;
  • 10) 0,144 387 028 229 12 × 2 = 0 + 0,288 774 056 458 24;
  • 11) 0,288 774 056 458 24 × 2 = 0 + 0,577 548 112 916 48;
  • 12) 0,577 548 112 916 48 × 2 = 1 + 0,155 096 225 832 96;
  • 13) 0,155 096 225 832 96 × 2 = 0 + 0,310 192 451 665 92;
  • 14) 0,310 192 451 665 92 × 2 = 0 + 0,620 384 903 331 84;
  • 15) 0,620 384 903 331 84 × 2 = 1 + 0,240 769 806 663 68;
  • 16) 0,240 769 806 663 68 × 2 = 0 + 0,481 539 613 327 36;
  • 17) 0,481 539 613 327 36 × 2 = 0 + 0,963 079 226 654 72;
  • 18) 0,963 079 226 654 72 × 2 = 1 + 0,926 158 453 309 44;
  • 19) 0,926 158 453 309 44 × 2 = 1 + 0,852 316 906 618 88;
  • 20) 0,852 316 906 618 88 × 2 = 1 + 0,704 633 813 237 76;
  • 21) 0,704 633 813 237 76 × 2 = 1 + 0,409 267 626 475 52;
  • 22) 0,409 267 626 475 52 × 2 = 0 + 0,818 535 252 951 04;
  • 23) 0,818 535 252 951 04 × 2 = 1 + 0,637 070 505 902 08;
  • 24) 0,637 070 505 902 08 × 2 = 1 + 0,274 141 011 804 16;
  • 25) 0,274 141 011 804 16 × 2 = 0 + 0,548 282 023 608 32;
  • 26) 0,548 282 023 608 32 × 2 = 1 + 0,096 564 047 216 64;
  • 27) 0,096 564 047 216 64 × 2 = 0 + 0,193 128 094 433 28;
  • 28) 0,193 128 094 433 28 × 2 = 0 + 0,386 256 188 866 56;
  • 29) 0,386 256 188 866 56 × 2 = 0 + 0,772 512 377 733 12;
  • 30) 0,772 512 377 733 12 × 2 = 1 + 0,545 024 755 466 24;
  • 31) 0,545 024 755 466 24 × 2 = 1 + 0,090 049 510 932 48;
  • 32) 0,090 049 510 932 48 × 2 = 0 + 0,180 099 021 864 96;
  • 33) 0,180 099 021 864 96 × 2 = 0 + 0,360 198 043 729 92;
  • 34) 0,360 198 043 729 92 × 2 = 0 + 0,720 396 087 459 84;
  • 35) 0,720 396 087 459 84 × 2 = 1 + 0,440 792 174 919 68;
  • 36) 0,440 792 174 919 68 × 2 = 0 + 0,881 584 349 839 36;
  • 37) 0,881 584 349 839 36 × 2 = 1 + 0,763 168 699 678 72;
  • 38) 0,763 168 699 678 72 × 2 = 1 + 0,526 337 399 357 44;
  • 39) 0,526 337 399 357 44 × 2 = 1 + 0,052 674 798 714 88;
  • 40) 0,052 674 798 714 88 × 2 = 0 + 0,105 349 597 429 76;
  • 41) 0,105 349 597 429 76 × 2 = 0 + 0,210 699 194 859 52;
  • 42) 0,210 699 194 859 52 × 2 = 0 + 0,421 398 389 719 04;
  • 43) 0,421 398 389 719 04 × 2 = 0 + 0,842 796 779 438 08;
  • 44) 0,842 796 779 438 08 × 2 = 1 + 0,685 593 558 876 16;
  • 45) 0,685 593 558 876 16 × 2 = 1 + 0,371 187 117 752 32;
  • 46) 0,371 187 117 752 32 × 2 = 0 + 0,742 374 235 504 64;
  • 47) 0,742 374 235 504 64 × 2 = 1 + 0,484 748 471 009 28;
  • 48) 0,484 748 471 009 28 × 2 = 0 + 0,969 496 942 018 56;
  • 49) 0,969 496 942 018 56 × 2 = 1 + 0,938 993 884 037 12;
  • 50) 0,938 993 884 037 12 × 2 = 1 + 0,877 987 768 074 24;
  • 51) 0,877 987 768 074 24 × 2 = 1 + 0,755 975 536 148 48;
  • 52) 0,755 975 536 148 48 × 2 = 1 + 0,511 951 072 296 96;
  • 53) 0,511 951 072 296 96 × 2 = 1 + 0,023 902 144 593 92;
  • 54) 0,023 902 144 593 92 × 2 = 0 + 0,047 804 289 187 84;
  • 55) 0,047 804 289 187 84 × 2 = 0 + 0,095 608 578 375 68;
  • 56) 0,095 608 578 375 68 × 2 = 0 + 0,191 217 156 751 36;
  • 57) 0,191 217 156 751 36 × 2 = 0 + 0,382 434 313 502 72;
  • 58) 0,382 434 313 502 72 × 2 = 0 + 0,764 868 627 005 44;
  • 59) 0,764 868 627 005 44 × 2 = 1 + 0,529 737 254 010 88;
  • 60) 0,529 737 254 010 88 × 2 = 1 + 0,059 474 508 021 76;
  • 61) 0,059 474 508 021 76 × 2 = 0 + 0,118 949 016 043 52;
  • 62) 0,118 949 016 043 52 × 2 = 0 + 0,237 898 032 087 04;
  • 63) 0,237 898 032 087 04 × 2 = 0 + 0,475 796 064 174 08;
  • 64) 0,475 796 064 174 08 × 2 = 0 + 0,951 592 128 348 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 51 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1010 1111 1000 0011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 38 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100