-0,000 282 005 915 38 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 38(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 38(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 38| = 0,000 282 005 915 38


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 38.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 38 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 76;
  • 2) 0,000 564 011 830 76 × 2 = 0 + 0,001 128 023 661 52;
  • 3) 0,001 128 023 661 52 × 2 = 0 + 0,002 256 047 323 04;
  • 4) 0,002 256 047 323 04 × 2 = 0 + 0,004 512 094 646 08;
  • 5) 0,004 512 094 646 08 × 2 = 0 + 0,009 024 189 292 16;
  • 6) 0,009 024 189 292 16 × 2 = 0 + 0,018 048 378 584 32;
  • 7) 0,018 048 378 584 32 × 2 = 0 + 0,036 096 757 168 64;
  • 8) 0,036 096 757 168 64 × 2 = 0 + 0,072 193 514 337 28;
  • 9) 0,072 193 514 337 28 × 2 = 0 + 0,144 387 028 674 56;
  • 10) 0,144 387 028 674 56 × 2 = 0 + 0,288 774 057 349 12;
  • 11) 0,288 774 057 349 12 × 2 = 0 + 0,577 548 114 698 24;
  • 12) 0,577 548 114 698 24 × 2 = 1 + 0,155 096 229 396 48;
  • 13) 0,155 096 229 396 48 × 2 = 0 + 0,310 192 458 792 96;
  • 14) 0,310 192 458 792 96 × 2 = 0 + 0,620 384 917 585 92;
  • 15) 0,620 384 917 585 92 × 2 = 1 + 0,240 769 835 171 84;
  • 16) 0,240 769 835 171 84 × 2 = 0 + 0,481 539 670 343 68;
  • 17) 0,481 539 670 343 68 × 2 = 0 + 0,963 079 340 687 36;
  • 18) 0,963 079 340 687 36 × 2 = 1 + 0,926 158 681 374 72;
  • 19) 0,926 158 681 374 72 × 2 = 1 + 0,852 317 362 749 44;
  • 20) 0,852 317 362 749 44 × 2 = 1 + 0,704 634 725 498 88;
  • 21) 0,704 634 725 498 88 × 2 = 1 + 0,409 269 450 997 76;
  • 22) 0,409 269 450 997 76 × 2 = 0 + 0,818 538 901 995 52;
  • 23) 0,818 538 901 995 52 × 2 = 1 + 0,637 077 803 991 04;
  • 24) 0,637 077 803 991 04 × 2 = 1 + 0,274 155 607 982 08;
  • 25) 0,274 155 607 982 08 × 2 = 0 + 0,548 311 215 964 16;
  • 26) 0,548 311 215 964 16 × 2 = 1 + 0,096 622 431 928 32;
  • 27) 0,096 622 431 928 32 × 2 = 0 + 0,193 244 863 856 64;
  • 28) 0,193 244 863 856 64 × 2 = 0 + 0,386 489 727 713 28;
  • 29) 0,386 489 727 713 28 × 2 = 0 + 0,772 979 455 426 56;
  • 30) 0,772 979 455 426 56 × 2 = 1 + 0,545 958 910 853 12;
  • 31) 0,545 958 910 853 12 × 2 = 1 + 0,091 917 821 706 24;
  • 32) 0,091 917 821 706 24 × 2 = 0 + 0,183 835 643 412 48;
  • 33) 0,183 835 643 412 48 × 2 = 0 + 0,367 671 286 824 96;
  • 34) 0,367 671 286 824 96 × 2 = 0 + 0,735 342 573 649 92;
  • 35) 0,735 342 573 649 92 × 2 = 1 + 0,470 685 147 299 84;
  • 36) 0,470 685 147 299 84 × 2 = 0 + 0,941 370 294 599 68;
  • 37) 0,941 370 294 599 68 × 2 = 1 + 0,882 740 589 199 36;
  • 38) 0,882 740 589 199 36 × 2 = 1 + 0,765 481 178 398 72;
  • 39) 0,765 481 178 398 72 × 2 = 1 + 0,530 962 356 797 44;
  • 40) 0,530 962 356 797 44 × 2 = 1 + 0,061 924 713 594 88;
  • 41) 0,061 924 713 594 88 × 2 = 0 + 0,123 849 427 189 76;
  • 42) 0,123 849 427 189 76 × 2 = 0 + 0,247 698 854 379 52;
  • 43) 0,247 698 854 379 52 × 2 = 0 + 0,495 397 708 759 04;
  • 44) 0,495 397 708 759 04 × 2 = 0 + 0,990 795 417 518 08;
  • 45) 0,990 795 417 518 08 × 2 = 1 + 0,981 590 835 036 16;
  • 46) 0,981 590 835 036 16 × 2 = 1 + 0,963 181 670 072 32;
  • 47) 0,963 181 670 072 32 × 2 = 1 + 0,926 363 340 144 64;
  • 48) 0,926 363 340 144 64 × 2 = 1 + 0,852 726 680 289 28;
  • 49) 0,852 726 680 289 28 × 2 = 1 + 0,705 453 360 578 56;
  • 50) 0,705 453 360 578 56 × 2 = 1 + 0,410 906 721 157 12;
  • 51) 0,410 906 721 157 12 × 2 = 0 + 0,821 813 442 314 24;
  • 52) 0,821 813 442 314 24 × 2 = 1 + 0,643 626 884 628 48;
  • 53) 0,643 626 884 628 48 × 2 = 1 + 0,287 253 769 256 96;
  • 54) 0,287 253 769 256 96 × 2 = 0 + 0,574 507 538 513 92;
  • 55) 0,574 507 538 513 92 × 2 = 1 + 0,149 015 077 027 84;
  • 56) 0,149 015 077 027 84 × 2 = 0 + 0,298 030 154 055 68;
  • 57) 0,298 030 154 055 68 × 2 = 0 + 0,596 060 308 111 36;
  • 58) 0,596 060 308 111 36 × 2 = 1 + 0,192 120 616 222 72;
  • 59) 0,192 120 616 222 72 × 2 = 0 + 0,384 241 232 445 44;
  • 60) 0,384 241 232 445 44 × 2 = 0 + 0,768 482 464 890 88;
  • 61) 0,768 482 464 890 88 × 2 = 1 + 0,536 964 929 781 76;
  • 62) 0,536 964 929 781 76 × 2 = 1 + 0,073 929 859 563 52;
  • 63) 0,073 929 859 563 52 × 2 = 0 + 0,147 859 719 127 04;
  • 64) 0,147 859 719 127 04 × 2 = 0 + 0,295 719 438 254 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 38 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1111 1101 1010 0100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 65 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100