-0,000 282 005 914 516 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 516(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 516(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 516| = 0,000 282 005 914 516


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 516.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 516 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 032;
  • 2) 0,000 564 011 829 032 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 064;
  • 3) 0,001 128 023 658 064 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 128;
  • 4) 0,002 256 047 316 128 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 256;
  • 5) 0,004 512 094 632 256 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 512;
  • 6) 0,009 024 189 264 512 × 2 = 0 + 0,018 048 378 529 024;
  • 7) 0,018 048 378 529 024 × 2 = 0 + 0,036 096 757 058 048;
  • 8) 0,036 096 757 058 048 × 2 = 0 + 0,072 193 514 116 096;
  • 9) 0,072 193 514 116 096 × 2 = 0 + 0,144 387 028 232 192;
  • 10) 0,144 387 028 232 192 × 2 = 0 + 0,288 774 056 464 384;
  • 11) 0,288 774 056 464 384 × 2 = 0 + 0,577 548 112 928 768;
  • 12) 0,577 548 112 928 768 × 2 = 1 + 0,155 096 225 857 536;
  • 13) 0,155 096 225 857 536 × 2 = 0 + 0,310 192 451 715 072;
  • 14) 0,310 192 451 715 072 × 2 = 0 + 0,620 384 903 430 144;
  • 15) 0,620 384 903 430 144 × 2 = 1 + 0,240 769 806 860 288;
  • 16) 0,240 769 806 860 288 × 2 = 0 + 0,481 539 613 720 576;
  • 17) 0,481 539 613 720 576 × 2 = 0 + 0,963 079 227 441 152;
  • 18) 0,963 079 227 441 152 × 2 = 1 + 0,926 158 454 882 304;
  • 19) 0,926 158 454 882 304 × 2 = 1 + 0,852 316 909 764 608;
  • 20) 0,852 316 909 764 608 × 2 = 1 + 0,704 633 819 529 216;
  • 21) 0,704 633 819 529 216 × 2 = 1 + 0,409 267 639 058 432;
  • 22) 0,409 267 639 058 432 × 2 = 0 + 0,818 535 278 116 864;
  • 23) 0,818 535 278 116 864 × 2 = 1 + 0,637 070 556 233 728;
  • 24) 0,637 070 556 233 728 × 2 = 1 + 0,274 141 112 467 456;
  • 25) 0,274 141 112 467 456 × 2 = 0 + 0,548 282 224 934 912;
  • 26) 0,548 282 224 934 912 × 2 = 1 + 0,096 564 449 869 824;
  • 27) 0,096 564 449 869 824 × 2 = 0 + 0,193 128 899 739 648;
  • 28) 0,193 128 899 739 648 × 2 = 0 + 0,386 257 799 479 296;
  • 29) 0,386 257 799 479 296 × 2 = 0 + 0,772 515 598 958 592;
  • 30) 0,772 515 598 958 592 × 2 = 1 + 0,545 031 197 917 184;
  • 31) 0,545 031 197 917 184 × 2 = 1 + 0,090 062 395 834 368;
  • 32) 0,090 062 395 834 368 × 2 = 0 + 0,180 124 791 668 736;
  • 33) 0,180 124 791 668 736 × 2 = 0 + 0,360 249 583 337 472;
  • 34) 0,360 249 583 337 472 × 2 = 0 + 0,720 499 166 674 944;
  • 35) 0,720 499 166 674 944 × 2 = 1 + 0,440 998 333 349 888;
  • 36) 0,440 998 333 349 888 × 2 = 0 + 0,881 996 666 699 776;
  • 37) 0,881 996 666 699 776 × 2 = 1 + 0,763 993 333 399 552;
  • 38) 0,763 993 333 399 552 × 2 = 1 + 0,527 986 666 799 104;
  • 39) 0,527 986 666 799 104 × 2 = 1 + 0,055 973 333 598 208;
  • 40) 0,055 973 333 598 208 × 2 = 0 + 0,111 946 667 196 416;
  • 41) 0,111 946 667 196 416 × 2 = 0 + 0,223 893 334 392 832;
  • 42) 0,223 893 334 392 832 × 2 = 0 + 0,447 786 668 785 664;
  • 43) 0,447 786 668 785 664 × 2 = 0 + 0,895 573 337 571 328;
  • 44) 0,895 573 337 571 328 × 2 = 1 + 0,791 146 675 142 656;
  • 45) 0,791 146 675 142 656 × 2 = 1 + 0,582 293 350 285 312;
  • 46) 0,582 293 350 285 312 × 2 = 1 + 0,164 586 700 570 624;
  • 47) 0,164 586 700 570 624 × 2 = 0 + 0,329 173 401 141 248;
  • 48) 0,329 173 401 141 248 × 2 = 0 + 0,658 346 802 282 496;
  • 49) 0,658 346 802 282 496 × 2 = 1 + 0,316 693 604 564 992;
  • 50) 0,316 693 604 564 992 × 2 = 0 + 0,633 387 209 129 984;
  • 51) 0,633 387 209 129 984 × 2 = 1 + 0,266 774 418 259 968;
  • 52) 0,266 774 418 259 968 × 2 = 0 + 0,533 548 836 519 936;
  • 53) 0,533 548 836 519 936 × 2 = 1 + 0,067 097 673 039 872;
  • 54) 0,067 097 673 039 872 × 2 = 0 + 0,134 195 346 079 744;
  • 55) 0,134 195 346 079 744 × 2 = 0 + 0,268 390 692 159 488;
  • 56) 0,268 390 692 159 488 × 2 = 0 + 0,536 781 384 318 976;
  • 57) 0,536 781 384 318 976 × 2 = 1 + 0,073 562 768 637 952;
  • 58) 0,073 562 768 637 952 × 2 = 0 + 0,147 125 537 275 904;
  • 59) 0,147 125 537 275 904 × 2 = 0 + 0,294 251 074 551 808;
  • 60) 0,294 251 074 551 808 × 2 = 0 + 0,588 502 149 103 616;
  • 61) 0,588 502 149 103 616 × 2 = 1 + 0,177 004 298 207 232;
  • 62) 0,177 004 298 207 232 × 2 = 0 + 0,354 008 596 414 464;
  • 63) 0,354 008 596 414 464 × 2 = 0 + 0,708 017 192 828 928;
  • 64) 0,708 017 192 828 928 × 2 = 1 + 0,416 034 385 657 856;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 516 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1100 1010 1000 1000 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 441 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100