-0,000 282 005 914 533 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 533(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 533(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 533| = 0,000 282 005 914 533


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 533.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 533 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 066;
  • 2) 0,000 564 011 829 066 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 132;
  • 3) 0,001 128 023 658 132 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 264;
  • 4) 0,002 256 047 316 264 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 528;
  • 5) 0,004 512 094 632 528 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 056;
  • 6) 0,009 024 189 265 056 × 2 = 0 + 0,018 048 378 530 112;
  • 7) 0,018 048 378 530 112 × 2 = 0 + 0,036 096 757 060 224;
  • 8) 0,036 096 757 060 224 × 2 = 0 + 0,072 193 514 120 448;
  • 9) 0,072 193 514 120 448 × 2 = 0 + 0,144 387 028 240 896;
  • 10) 0,144 387 028 240 896 × 2 = 0 + 0,288 774 056 481 792;
  • 11) 0,288 774 056 481 792 × 2 = 0 + 0,577 548 112 963 584;
  • 12) 0,577 548 112 963 584 × 2 = 1 + 0,155 096 225 927 168;
  • 13) 0,155 096 225 927 168 × 2 = 0 + 0,310 192 451 854 336;
  • 14) 0,310 192 451 854 336 × 2 = 0 + 0,620 384 903 708 672;
  • 15) 0,620 384 903 708 672 × 2 = 1 + 0,240 769 807 417 344;
  • 16) 0,240 769 807 417 344 × 2 = 0 + 0,481 539 614 834 688;
  • 17) 0,481 539 614 834 688 × 2 = 0 + 0,963 079 229 669 376;
  • 18) 0,963 079 229 669 376 × 2 = 1 + 0,926 158 459 338 752;
  • 19) 0,926 158 459 338 752 × 2 = 1 + 0,852 316 918 677 504;
  • 20) 0,852 316 918 677 504 × 2 = 1 + 0,704 633 837 355 008;
  • 21) 0,704 633 837 355 008 × 2 = 1 + 0,409 267 674 710 016;
  • 22) 0,409 267 674 710 016 × 2 = 0 + 0,818 535 349 420 032;
  • 23) 0,818 535 349 420 032 × 2 = 1 + 0,637 070 698 840 064;
  • 24) 0,637 070 698 840 064 × 2 = 1 + 0,274 141 397 680 128;
  • 25) 0,274 141 397 680 128 × 2 = 0 + 0,548 282 795 360 256;
  • 26) 0,548 282 795 360 256 × 2 = 1 + 0,096 565 590 720 512;
  • 27) 0,096 565 590 720 512 × 2 = 0 + 0,193 131 181 441 024;
  • 28) 0,193 131 181 441 024 × 2 = 0 + 0,386 262 362 882 048;
  • 29) 0,386 262 362 882 048 × 2 = 0 + 0,772 524 725 764 096;
  • 30) 0,772 524 725 764 096 × 2 = 1 + 0,545 049 451 528 192;
  • 31) 0,545 049 451 528 192 × 2 = 1 + 0,090 098 903 056 384;
  • 32) 0,090 098 903 056 384 × 2 = 0 + 0,180 197 806 112 768;
  • 33) 0,180 197 806 112 768 × 2 = 0 + 0,360 395 612 225 536;
  • 34) 0,360 395 612 225 536 × 2 = 0 + 0,720 791 224 451 072;
  • 35) 0,720 791 224 451 072 × 2 = 1 + 0,441 582 448 902 144;
  • 36) 0,441 582 448 902 144 × 2 = 0 + 0,883 164 897 804 288;
  • 37) 0,883 164 897 804 288 × 2 = 1 + 0,766 329 795 608 576;
  • 38) 0,766 329 795 608 576 × 2 = 1 + 0,532 659 591 217 152;
  • 39) 0,532 659 591 217 152 × 2 = 1 + 0,065 319 182 434 304;
  • 40) 0,065 319 182 434 304 × 2 = 0 + 0,130 638 364 868 608;
  • 41) 0,130 638 364 868 608 × 2 = 0 + 0,261 276 729 737 216;
  • 42) 0,261 276 729 737 216 × 2 = 0 + 0,522 553 459 474 432;
  • 43) 0,522 553 459 474 432 × 2 = 1 + 0,045 106 918 948 864;
  • 44) 0,045 106 918 948 864 × 2 = 0 + 0,090 213 837 897 728;
  • 45) 0,090 213 837 897 728 × 2 = 0 + 0,180 427 675 795 456;
  • 46) 0,180 427 675 795 456 × 2 = 0 + 0,360 855 351 590 912;
  • 47) 0,360 855 351 590 912 × 2 = 0 + 0,721 710 703 181 824;
  • 48) 0,721 710 703 181 824 × 2 = 1 + 0,443 421 406 363 648;
  • 49) 0,443 421 406 363 648 × 2 = 0 + 0,886 842 812 727 296;
  • 50) 0,886 842 812 727 296 × 2 = 1 + 0,773 685 625 454 592;
  • 51) 0,773 685 625 454 592 × 2 = 1 + 0,547 371 250 909 184;
  • 52) 0,547 371 250 909 184 × 2 = 1 + 0,094 742 501 818 368;
  • 53) 0,094 742 501 818 368 × 2 = 0 + 0,189 485 003 636 736;
  • 54) 0,189 485 003 636 736 × 2 = 0 + 0,378 970 007 273 472;
  • 55) 0,378 970 007 273 472 × 2 = 0 + 0,757 940 014 546 944;
  • 56) 0,757 940 014 546 944 × 2 = 1 + 0,515 880 029 093 888;
  • 57) 0,515 880 029 093 888 × 2 = 1 + 0,031 760 058 187 776;
  • 58) 0,031 760 058 187 776 × 2 = 0 + 0,063 520 116 375 552;
  • 59) 0,063 520 116 375 552 × 2 = 0 + 0,127 040 232 751 104;
  • 60) 0,127 040 232 751 104 × 2 = 0 + 0,254 080 465 502 208;
  • 61) 0,254 080 465 502 208 × 2 = 0 + 0,508 160 931 004 416;
  • 62) 0,508 160 931 004 416 × 2 = 1 + 0,016 321 862 008 832;
  • 63) 0,016 321 862 008 832 × 2 = 0 + 0,032 643 724 017 664;
  • 64) 0,032 643 724 017 664 × 2 = 0 + 0,065 287 448 035 328;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 533(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 533(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 533(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 533 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0001 0111 0001 1000 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 484 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100