-0,000 282 005 914 55 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 55(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 55(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 55| = 0,000 282 005 914 55


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 55.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 55 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 1;
  • 2) 0,000 564 011 829 1 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 2;
  • 3) 0,001 128 023 658 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 4;
  • 4) 0,002 256 047 316 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 8;
  • 5) 0,004 512 094 632 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 6;
  • 6) 0,009 024 189 265 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 531 2;
  • 7) 0,018 048 378 531 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 062 4;
  • 8) 0,036 096 757 062 4 × 2 = 0 + 0,072 193 514 124 8;
  • 9) 0,072 193 514 124 8 × 2 = 0 + 0,144 387 028 249 6;
  • 10) 0,144 387 028 249 6 × 2 = 0 + 0,288 774 056 499 2;
  • 11) 0,288 774 056 499 2 × 2 = 0 + 0,577 548 112 998 4;
  • 12) 0,577 548 112 998 4 × 2 = 1 + 0,155 096 225 996 8;
  • 13) 0,155 096 225 996 8 × 2 = 0 + 0,310 192 451 993 6;
  • 14) 0,310 192 451 993 6 × 2 = 0 + 0,620 384 903 987 2;
  • 15) 0,620 384 903 987 2 × 2 = 1 + 0,240 769 807 974 4;
  • 16) 0,240 769 807 974 4 × 2 = 0 + 0,481 539 615 948 8;
  • 17) 0,481 539 615 948 8 × 2 = 0 + 0,963 079 231 897 6;
  • 18) 0,963 079 231 897 6 × 2 = 1 + 0,926 158 463 795 2;
  • 19) 0,926 158 463 795 2 × 2 = 1 + 0,852 316 927 590 4;
  • 20) 0,852 316 927 590 4 × 2 = 1 + 0,704 633 855 180 8;
  • 21) 0,704 633 855 180 8 × 2 = 1 + 0,409 267 710 361 6;
  • 22) 0,409 267 710 361 6 × 2 = 0 + 0,818 535 420 723 2;
  • 23) 0,818 535 420 723 2 × 2 = 1 + 0,637 070 841 446 4;
  • 24) 0,637 070 841 446 4 × 2 = 1 + 0,274 141 682 892 8;
  • 25) 0,274 141 682 892 8 × 2 = 0 + 0,548 283 365 785 6;
  • 26) 0,548 283 365 785 6 × 2 = 1 + 0,096 566 731 571 2;
  • 27) 0,096 566 731 571 2 × 2 = 0 + 0,193 133 463 142 4;
  • 28) 0,193 133 463 142 4 × 2 = 0 + 0,386 266 926 284 8;
  • 29) 0,386 266 926 284 8 × 2 = 0 + 0,772 533 852 569 6;
  • 30) 0,772 533 852 569 6 × 2 = 1 + 0,545 067 705 139 2;
  • 31) 0,545 067 705 139 2 × 2 = 1 + 0,090 135 410 278 4;
  • 32) 0,090 135 410 278 4 × 2 = 0 + 0,180 270 820 556 8;
  • 33) 0,180 270 820 556 8 × 2 = 0 + 0,360 541 641 113 6;
  • 34) 0,360 541 641 113 6 × 2 = 0 + 0,721 083 282 227 2;
  • 35) 0,721 083 282 227 2 × 2 = 1 + 0,442 166 564 454 4;
  • 36) 0,442 166 564 454 4 × 2 = 0 + 0,884 333 128 908 8;
  • 37) 0,884 333 128 908 8 × 2 = 1 + 0,768 666 257 817 6;
  • 38) 0,768 666 257 817 6 × 2 = 1 + 0,537 332 515 635 2;
  • 39) 0,537 332 515 635 2 × 2 = 1 + 0,074 665 031 270 4;
  • 40) 0,074 665 031 270 4 × 2 = 0 + 0,149 330 062 540 8;
  • 41) 0,149 330 062 540 8 × 2 = 0 + 0,298 660 125 081 6;
  • 42) 0,298 660 125 081 6 × 2 = 0 + 0,597 320 250 163 2;
  • 43) 0,597 320 250 163 2 × 2 = 1 + 0,194 640 500 326 4;
  • 44) 0,194 640 500 326 4 × 2 = 0 + 0,389 281 000 652 8;
  • 45) 0,389 281 000 652 8 × 2 = 0 + 0,778 562 001 305 6;
  • 46) 0,778 562 001 305 6 × 2 = 1 + 0,557 124 002 611 2;
  • 47) 0,557 124 002 611 2 × 2 = 1 + 0,114 248 005 222 4;
  • 48) 0,114 248 005 222 4 × 2 = 0 + 0,228 496 010 444 8;
  • 49) 0,228 496 010 444 8 × 2 = 0 + 0,456 992 020 889 6;
  • 50) 0,456 992 020 889 6 × 2 = 0 + 0,913 984 041 779 2;
  • 51) 0,913 984 041 779 2 × 2 = 1 + 0,827 968 083 558 4;
  • 52) 0,827 968 083 558 4 × 2 = 1 + 0,655 936 167 116 8;
  • 53) 0,655 936 167 116 8 × 2 = 1 + 0,311 872 334 233 6;
  • 54) 0,311 872 334 233 6 × 2 = 0 + 0,623 744 668 467 2;
  • 55) 0,623 744 668 467 2 × 2 = 1 + 0,247 489 336 934 4;
  • 56) 0,247 489 336 934 4 × 2 = 0 + 0,494 978 673 868 8;
  • 57) 0,494 978 673 868 8 × 2 = 0 + 0,989 957 347 737 6;
  • 58) 0,989 957 347 737 6 × 2 = 1 + 0,979 914 695 475 2;
  • 59) 0,979 914 695 475 2 × 2 = 1 + 0,959 829 390 950 4;
  • 60) 0,959 829 390 950 4 × 2 = 1 + 0,919 658 781 900 8;
  • 61) 0,919 658 781 900 8 × 2 = 1 + 0,839 317 563 801 6;
  • 62) 0,839 317 563 801 6 × 2 = 1 + 0,678 635 127 603 2;
  • 63) 0,678 635 127 603 2 × 2 = 1 + 0,357 270 255 206 4;
  • 64) 0,357 270 255 206 4 × 2 = 0 + 0,714 540 510 412 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 55(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 55(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 55(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 55 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0110 0011 1010 0111 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 93 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100