-0,000 282 005 914 557 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 557(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 557(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 557| = 0,000 282 005 914 557


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 557.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 557 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 114;
  • 2) 0,000 564 011 829 114 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 228;
  • 3) 0,001 128 023 658 228 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 456;
  • 4) 0,002 256 047 316 456 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 912;
  • 5) 0,004 512 094 632 912 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 824;
  • 6) 0,009 024 189 265 824 × 2 = 0 + 0,018 048 378 531 648;
  • 7) 0,018 048 378 531 648 × 2 = 0 + 0,036 096 757 063 296;
  • 8) 0,036 096 757 063 296 × 2 = 0 + 0,072 193 514 126 592;
  • 9) 0,072 193 514 126 592 × 2 = 0 + 0,144 387 028 253 184;
  • 10) 0,144 387 028 253 184 × 2 = 0 + 0,288 774 056 506 368;
  • 11) 0,288 774 056 506 368 × 2 = 0 + 0,577 548 113 012 736;
  • 12) 0,577 548 113 012 736 × 2 = 1 + 0,155 096 226 025 472;
  • 13) 0,155 096 226 025 472 × 2 = 0 + 0,310 192 452 050 944;
  • 14) 0,310 192 452 050 944 × 2 = 0 + 0,620 384 904 101 888;
  • 15) 0,620 384 904 101 888 × 2 = 1 + 0,240 769 808 203 776;
  • 16) 0,240 769 808 203 776 × 2 = 0 + 0,481 539 616 407 552;
  • 17) 0,481 539 616 407 552 × 2 = 0 + 0,963 079 232 815 104;
  • 18) 0,963 079 232 815 104 × 2 = 1 + 0,926 158 465 630 208;
  • 19) 0,926 158 465 630 208 × 2 = 1 + 0,852 316 931 260 416;
  • 20) 0,852 316 931 260 416 × 2 = 1 + 0,704 633 862 520 832;
  • 21) 0,704 633 862 520 832 × 2 = 1 + 0,409 267 725 041 664;
  • 22) 0,409 267 725 041 664 × 2 = 0 + 0,818 535 450 083 328;
  • 23) 0,818 535 450 083 328 × 2 = 1 + 0,637 070 900 166 656;
  • 24) 0,637 070 900 166 656 × 2 = 1 + 0,274 141 800 333 312;
  • 25) 0,274 141 800 333 312 × 2 = 0 + 0,548 283 600 666 624;
  • 26) 0,548 283 600 666 624 × 2 = 1 + 0,096 567 201 333 248;
  • 27) 0,096 567 201 333 248 × 2 = 0 + 0,193 134 402 666 496;
  • 28) 0,193 134 402 666 496 × 2 = 0 + 0,386 268 805 332 992;
  • 29) 0,386 268 805 332 992 × 2 = 0 + 0,772 537 610 665 984;
  • 30) 0,772 537 610 665 984 × 2 = 1 + 0,545 075 221 331 968;
  • 31) 0,545 075 221 331 968 × 2 = 1 + 0,090 150 442 663 936;
  • 32) 0,090 150 442 663 936 × 2 = 0 + 0,180 300 885 327 872;
  • 33) 0,180 300 885 327 872 × 2 = 0 + 0,360 601 770 655 744;
  • 34) 0,360 601 770 655 744 × 2 = 0 + 0,721 203 541 311 488;
  • 35) 0,721 203 541 311 488 × 2 = 1 + 0,442 407 082 622 976;
  • 36) 0,442 407 082 622 976 × 2 = 0 + 0,884 814 165 245 952;
  • 37) 0,884 814 165 245 952 × 2 = 1 + 0,769 628 330 491 904;
  • 38) 0,769 628 330 491 904 × 2 = 1 + 0,539 256 660 983 808;
  • 39) 0,539 256 660 983 808 × 2 = 1 + 0,078 513 321 967 616;
  • 40) 0,078 513 321 967 616 × 2 = 0 + 0,157 026 643 935 232;
  • 41) 0,157 026 643 935 232 × 2 = 0 + 0,314 053 287 870 464;
  • 42) 0,314 053 287 870 464 × 2 = 0 + 0,628 106 575 740 928;
  • 43) 0,628 106 575 740 928 × 2 = 1 + 0,256 213 151 481 856;
  • 44) 0,256 213 151 481 856 × 2 = 0 + 0,512 426 302 963 712;
  • 45) 0,512 426 302 963 712 × 2 = 1 + 0,024 852 605 927 424;
  • 46) 0,024 852 605 927 424 × 2 = 0 + 0,049 705 211 854 848;
  • 47) 0,049 705 211 854 848 × 2 = 0 + 0,099 410 423 709 696;
  • 48) 0,099 410 423 709 696 × 2 = 0 + 0,198 820 847 419 392;
  • 49) 0,198 820 847 419 392 × 2 = 0 + 0,397 641 694 838 784;
  • 50) 0,397 641 694 838 784 × 2 = 0 + 0,795 283 389 677 568;
  • 51) 0,795 283 389 677 568 × 2 = 1 + 0,590 566 779 355 136;
  • 52) 0,590 566 779 355 136 × 2 = 1 + 0,181 133 558 710 272;
  • 53) 0,181 133 558 710 272 × 2 = 0 + 0,362 267 117 420 544;
  • 54) 0,362 267 117 420 544 × 2 = 0 + 0,724 534 234 841 088;
  • 55) 0,724 534 234 841 088 × 2 = 1 + 0,449 068 469 682 176;
  • 56) 0,449 068 469 682 176 × 2 = 0 + 0,898 136 939 364 352;
  • 57) 0,898 136 939 364 352 × 2 = 1 + 0,796 273 878 728 704;
  • 58) 0,796 273 878 728 704 × 2 = 1 + 0,592 547 757 457 408;
  • 59) 0,592 547 757 457 408 × 2 = 1 + 0,185 095 514 914 816;
  • 60) 0,185 095 514 914 816 × 2 = 0 + 0,370 191 029 829 632;
  • 61) 0,370 191 029 829 632 × 2 = 0 + 0,740 382 059 659 264;
  • 62) 0,740 382 059 659 264 × 2 = 1 + 0,480 764 119 318 528;
  • 63) 0,480 764 119 318 528 × 2 = 0 + 0,961 528 238 637 056;
  • 64) 0,961 528 238 637 056 × 2 = 1 + 0,923 056 477 274 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 557(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 557(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 557(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 557 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1000 0011 0010 1110 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100