-0,000 282 005 914 561 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 561(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 561(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 561| = 0,000 282 005 914 561


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 561.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 561 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 122;
  • 2) 0,000 564 011 829 122 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 244;
  • 3) 0,001 128 023 658 244 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 488;
  • 4) 0,002 256 047 316 488 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 976;
  • 5) 0,004 512 094 632 976 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 952;
  • 6) 0,009 024 189 265 952 × 2 = 0 + 0,018 048 378 531 904;
  • 7) 0,018 048 378 531 904 × 2 = 0 + 0,036 096 757 063 808;
  • 8) 0,036 096 757 063 808 × 2 = 0 + 0,072 193 514 127 616;
  • 9) 0,072 193 514 127 616 × 2 = 0 + 0,144 387 028 255 232;
  • 10) 0,144 387 028 255 232 × 2 = 0 + 0,288 774 056 510 464;
  • 11) 0,288 774 056 510 464 × 2 = 0 + 0,577 548 113 020 928;
  • 12) 0,577 548 113 020 928 × 2 = 1 + 0,155 096 226 041 856;
  • 13) 0,155 096 226 041 856 × 2 = 0 + 0,310 192 452 083 712;
  • 14) 0,310 192 452 083 712 × 2 = 0 + 0,620 384 904 167 424;
  • 15) 0,620 384 904 167 424 × 2 = 1 + 0,240 769 808 334 848;
  • 16) 0,240 769 808 334 848 × 2 = 0 + 0,481 539 616 669 696;
  • 17) 0,481 539 616 669 696 × 2 = 0 + 0,963 079 233 339 392;
  • 18) 0,963 079 233 339 392 × 2 = 1 + 0,926 158 466 678 784;
  • 19) 0,926 158 466 678 784 × 2 = 1 + 0,852 316 933 357 568;
  • 20) 0,852 316 933 357 568 × 2 = 1 + 0,704 633 866 715 136;
  • 21) 0,704 633 866 715 136 × 2 = 1 + 0,409 267 733 430 272;
  • 22) 0,409 267 733 430 272 × 2 = 0 + 0,818 535 466 860 544;
  • 23) 0,818 535 466 860 544 × 2 = 1 + 0,637 070 933 721 088;
  • 24) 0,637 070 933 721 088 × 2 = 1 + 0,274 141 867 442 176;
  • 25) 0,274 141 867 442 176 × 2 = 0 + 0,548 283 734 884 352;
  • 26) 0,548 283 734 884 352 × 2 = 1 + 0,096 567 469 768 704;
  • 27) 0,096 567 469 768 704 × 2 = 0 + 0,193 134 939 537 408;
  • 28) 0,193 134 939 537 408 × 2 = 0 + 0,386 269 879 074 816;
  • 29) 0,386 269 879 074 816 × 2 = 0 + 0,772 539 758 149 632;
  • 30) 0,772 539 758 149 632 × 2 = 1 + 0,545 079 516 299 264;
  • 31) 0,545 079 516 299 264 × 2 = 1 + 0,090 159 032 598 528;
  • 32) 0,090 159 032 598 528 × 2 = 0 + 0,180 318 065 197 056;
  • 33) 0,180 318 065 197 056 × 2 = 0 + 0,360 636 130 394 112;
  • 34) 0,360 636 130 394 112 × 2 = 0 + 0,721 272 260 788 224;
  • 35) 0,721 272 260 788 224 × 2 = 1 + 0,442 544 521 576 448;
  • 36) 0,442 544 521 576 448 × 2 = 0 + 0,885 089 043 152 896;
  • 37) 0,885 089 043 152 896 × 2 = 1 + 0,770 178 086 305 792;
  • 38) 0,770 178 086 305 792 × 2 = 1 + 0,540 356 172 611 584;
  • 39) 0,540 356 172 611 584 × 2 = 1 + 0,080 712 345 223 168;
  • 40) 0,080 712 345 223 168 × 2 = 0 + 0,161 424 690 446 336;
  • 41) 0,161 424 690 446 336 × 2 = 0 + 0,322 849 380 892 672;
  • 42) 0,322 849 380 892 672 × 2 = 0 + 0,645 698 761 785 344;
  • 43) 0,645 698 761 785 344 × 2 = 1 + 0,291 397 523 570 688;
  • 44) 0,291 397 523 570 688 × 2 = 0 + 0,582 795 047 141 376;
  • 45) 0,582 795 047 141 376 × 2 = 1 + 0,165 590 094 282 752;
  • 46) 0,165 590 094 282 752 × 2 = 0 + 0,331 180 188 565 504;
  • 47) 0,331 180 188 565 504 × 2 = 0 + 0,662 360 377 131 008;
  • 48) 0,662 360 377 131 008 × 2 = 1 + 0,324 720 754 262 016;
  • 49) 0,324 720 754 262 016 × 2 = 0 + 0,649 441 508 524 032;
  • 50) 0,649 441 508 524 032 × 2 = 1 + 0,298 883 017 048 064;
  • 51) 0,298 883 017 048 064 × 2 = 0 + 0,597 766 034 096 128;
  • 52) 0,597 766 034 096 128 × 2 = 1 + 0,195 532 068 192 256;
  • 53) 0,195 532 068 192 256 × 2 = 0 + 0,391 064 136 384 512;
  • 54) 0,391 064 136 384 512 × 2 = 0 + 0,782 128 272 769 024;
  • 55) 0,782 128 272 769 024 × 2 = 1 + 0,564 256 545 538 048;
  • 56) 0,564 256 545 538 048 × 2 = 1 + 0,128 513 091 076 096;
  • 57) 0,128 513 091 076 096 × 2 = 0 + 0,257 026 182 152 192;
  • 58) 0,257 026 182 152 192 × 2 = 0 + 0,514 052 364 304 384;
  • 59) 0,514 052 364 304 384 × 2 = 1 + 0,028 104 728 608 768;
  • 60) 0,028 104 728 608 768 × 2 = 0 + 0,056 209 457 217 536;
  • 61) 0,056 209 457 217 536 × 2 = 0 + 0,112 418 914 435 072;
  • 62) 0,112 418 914 435 072 × 2 = 0 + 0,224 837 828 870 144;
  • 63) 0,224 837 828 870 144 × 2 = 0 + 0,449 675 657 740 288;
  • 64) 0,449 675 657 740 288 × 2 = 0 + 0,899 351 315 480 576;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 561(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 561(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 561(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 561 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1001 0101 0011 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 586 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100