-0,000 282 005 914 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 57| = 0,000 282 005 914 57


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 57 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 14;
  • 2) 0,000 564 011 829 14 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 28;
  • 3) 0,001 128 023 658 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 56;
  • 4) 0,002 256 047 316 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 633 12;
  • 5) 0,004 512 094 633 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 266 24;
  • 6) 0,009 024 189 266 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 532 48;
  • 7) 0,018 048 378 532 48 × 2 = 0 + 0,036 096 757 064 96;
  • 8) 0,036 096 757 064 96 × 2 = 0 + 0,072 193 514 129 92;
  • 9) 0,072 193 514 129 92 × 2 = 0 + 0,144 387 028 259 84;
  • 10) 0,144 387 028 259 84 × 2 = 0 + 0,288 774 056 519 68;
  • 11) 0,288 774 056 519 68 × 2 = 0 + 0,577 548 113 039 36;
  • 12) 0,577 548 113 039 36 × 2 = 1 + 0,155 096 226 078 72;
  • 13) 0,155 096 226 078 72 × 2 = 0 + 0,310 192 452 157 44;
  • 14) 0,310 192 452 157 44 × 2 = 0 + 0,620 384 904 314 88;
  • 15) 0,620 384 904 314 88 × 2 = 1 + 0,240 769 808 629 76;
  • 16) 0,240 769 808 629 76 × 2 = 0 + 0,481 539 617 259 52;
  • 17) 0,481 539 617 259 52 × 2 = 0 + 0,963 079 234 519 04;
  • 18) 0,963 079 234 519 04 × 2 = 1 + 0,926 158 469 038 08;
  • 19) 0,926 158 469 038 08 × 2 = 1 + 0,852 316 938 076 16;
  • 20) 0,852 316 938 076 16 × 2 = 1 + 0,704 633 876 152 32;
  • 21) 0,704 633 876 152 32 × 2 = 1 + 0,409 267 752 304 64;
  • 22) 0,409 267 752 304 64 × 2 = 0 + 0,818 535 504 609 28;
  • 23) 0,818 535 504 609 28 × 2 = 1 + 0,637 071 009 218 56;
  • 24) 0,637 071 009 218 56 × 2 = 1 + 0,274 142 018 437 12;
  • 25) 0,274 142 018 437 12 × 2 = 0 + 0,548 284 036 874 24;
  • 26) 0,548 284 036 874 24 × 2 = 1 + 0,096 568 073 748 48;
  • 27) 0,096 568 073 748 48 × 2 = 0 + 0,193 136 147 496 96;
  • 28) 0,193 136 147 496 96 × 2 = 0 + 0,386 272 294 993 92;
  • 29) 0,386 272 294 993 92 × 2 = 0 + 0,772 544 589 987 84;
  • 30) 0,772 544 589 987 84 × 2 = 1 + 0,545 089 179 975 68;
  • 31) 0,545 089 179 975 68 × 2 = 1 + 0,090 178 359 951 36;
  • 32) 0,090 178 359 951 36 × 2 = 0 + 0,180 356 719 902 72;
  • 33) 0,180 356 719 902 72 × 2 = 0 + 0,360 713 439 805 44;
  • 34) 0,360 713 439 805 44 × 2 = 0 + 0,721 426 879 610 88;
  • 35) 0,721 426 879 610 88 × 2 = 1 + 0,442 853 759 221 76;
  • 36) 0,442 853 759 221 76 × 2 = 0 + 0,885 707 518 443 52;
  • 37) 0,885 707 518 443 52 × 2 = 1 + 0,771 415 036 887 04;
  • 38) 0,771 415 036 887 04 × 2 = 1 + 0,542 830 073 774 08;
  • 39) 0,542 830 073 774 08 × 2 = 1 + 0,085 660 147 548 16;
  • 40) 0,085 660 147 548 16 × 2 = 0 + 0,171 320 295 096 32;
  • 41) 0,171 320 295 096 32 × 2 = 0 + 0,342 640 590 192 64;
  • 42) 0,342 640 590 192 64 × 2 = 0 + 0,685 281 180 385 28;
  • 43) 0,685 281 180 385 28 × 2 = 1 + 0,370 562 360 770 56;
  • 44) 0,370 562 360 770 56 × 2 = 0 + 0,741 124 721 541 12;
  • 45) 0,741 124 721 541 12 × 2 = 1 + 0,482 249 443 082 24;
  • 46) 0,482 249 443 082 24 × 2 = 0 + 0,964 498 886 164 48;
  • 47) 0,964 498 886 164 48 × 2 = 1 + 0,928 997 772 328 96;
  • 48) 0,928 997 772 328 96 × 2 = 1 + 0,857 995 544 657 92;
  • 49) 0,857 995 544 657 92 × 2 = 1 + 0,715 991 089 315 84;
  • 50) 0,715 991 089 315 84 × 2 = 1 + 0,431 982 178 631 68;
  • 51) 0,431 982 178 631 68 × 2 = 0 + 0,863 964 357 263 36;
  • 52) 0,863 964 357 263 36 × 2 = 1 + 0,727 928 714 526 72;
  • 53) 0,727 928 714 526 72 × 2 = 1 + 0,455 857 429 053 44;
  • 54) 0,455 857 429 053 44 × 2 = 0 + 0,911 714 858 106 88;
  • 55) 0,911 714 858 106 88 × 2 = 1 + 0,823 429 716 213 76;
  • 56) 0,823 429 716 213 76 × 2 = 1 + 0,646 859 432 427 52;
  • 57) 0,646 859 432 427 52 × 2 = 1 + 0,293 718 864 855 04;
  • 58) 0,293 718 864 855 04 × 2 = 0 + 0,587 437 729 710 08;
  • 59) 0,587 437 729 710 08 × 2 = 1 + 0,174 875 459 420 16;
  • 60) 0,174 875 459 420 16 × 2 = 0 + 0,349 750 918 840 32;
  • 61) 0,349 750 918 840 32 × 2 = 0 + 0,699 501 837 680 64;
  • 62) 0,699 501 837 680 64 × 2 = 1 + 0,399 003 675 361 28;
  • 63) 0,399 003 675 361 28 × 2 = 0 + 0,798 007 350 722 56;
  • 64) 0,798 007 350 722 56 × 2 = 1 + 0,596 014 701 445 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 1011 1101 1011 1010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100