-0,000 282 005 914 593 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 593(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 593(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 593| = 0,000 282 005 914 593


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 593.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 593 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 186;
  • 2) 0,000 564 011 829 186 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 372;
  • 3) 0,001 128 023 658 372 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 744;
  • 4) 0,002 256 047 316 744 × 2 = 0 + 0,004 512 094 633 488;
  • 5) 0,004 512 094 633 488 × 2 = 0 + 0,009 024 189 266 976;
  • 6) 0,009 024 189 266 976 × 2 = 0 + 0,018 048 378 533 952;
  • 7) 0,018 048 378 533 952 × 2 = 0 + 0,036 096 757 067 904;
  • 8) 0,036 096 757 067 904 × 2 = 0 + 0,072 193 514 135 808;
  • 9) 0,072 193 514 135 808 × 2 = 0 + 0,144 387 028 271 616;
  • 10) 0,144 387 028 271 616 × 2 = 0 + 0,288 774 056 543 232;
  • 11) 0,288 774 056 543 232 × 2 = 0 + 0,577 548 113 086 464;
  • 12) 0,577 548 113 086 464 × 2 = 1 + 0,155 096 226 172 928;
  • 13) 0,155 096 226 172 928 × 2 = 0 + 0,310 192 452 345 856;
  • 14) 0,310 192 452 345 856 × 2 = 0 + 0,620 384 904 691 712;
  • 15) 0,620 384 904 691 712 × 2 = 1 + 0,240 769 809 383 424;
  • 16) 0,240 769 809 383 424 × 2 = 0 + 0,481 539 618 766 848;
  • 17) 0,481 539 618 766 848 × 2 = 0 + 0,963 079 237 533 696;
  • 18) 0,963 079 237 533 696 × 2 = 1 + 0,926 158 475 067 392;
  • 19) 0,926 158 475 067 392 × 2 = 1 + 0,852 316 950 134 784;
  • 20) 0,852 316 950 134 784 × 2 = 1 + 0,704 633 900 269 568;
  • 21) 0,704 633 900 269 568 × 2 = 1 + 0,409 267 800 539 136;
  • 22) 0,409 267 800 539 136 × 2 = 0 + 0,818 535 601 078 272;
  • 23) 0,818 535 601 078 272 × 2 = 1 + 0,637 071 202 156 544;
  • 24) 0,637 071 202 156 544 × 2 = 1 + 0,274 142 404 313 088;
  • 25) 0,274 142 404 313 088 × 2 = 0 + 0,548 284 808 626 176;
  • 26) 0,548 284 808 626 176 × 2 = 1 + 0,096 569 617 252 352;
  • 27) 0,096 569 617 252 352 × 2 = 0 + 0,193 139 234 504 704;
  • 28) 0,193 139 234 504 704 × 2 = 0 + 0,386 278 469 009 408;
  • 29) 0,386 278 469 009 408 × 2 = 0 + 0,772 556 938 018 816;
  • 30) 0,772 556 938 018 816 × 2 = 1 + 0,545 113 876 037 632;
  • 31) 0,545 113 876 037 632 × 2 = 1 + 0,090 227 752 075 264;
  • 32) 0,090 227 752 075 264 × 2 = 0 + 0,180 455 504 150 528;
  • 33) 0,180 455 504 150 528 × 2 = 0 + 0,360 911 008 301 056;
  • 34) 0,360 911 008 301 056 × 2 = 0 + 0,721 822 016 602 112;
  • 35) 0,721 822 016 602 112 × 2 = 1 + 0,443 644 033 204 224;
  • 36) 0,443 644 033 204 224 × 2 = 0 + 0,887 288 066 408 448;
  • 37) 0,887 288 066 408 448 × 2 = 1 + 0,774 576 132 816 896;
  • 38) 0,774 576 132 816 896 × 2 = 1 + 0,549 152 265 633 792;
  • 39) 0,549 152 265 633 792 × 2 = 1 + 0,098 304 531 267 584;
  • 40) 0,098 304 531 267 584 × 2 = 0 + 0,196 609 062 535 168;
  • 41) 0,196 609 062 535 168 × 2 = 0 + 0,393 218 125 070 336;
  • 42) 0,393 218 125 070 336 × 2 = 0 + 0,786 436 250 140 672;
  • 43) 0,786 436 250 140 672 × 2 = 1 + 0,572 872 500 281 344;
  • 44) 0,572 872 500 281 344 × 2 = 1 + 0,145 745 000 562 688;
  • 45) 0,145 745 000 562 688 × 2 = 0 + 0,291 490 001 125 376;
  • 46) 0,291 490 001 125 376 × 2 = 0 + 0,582 980 002 250 752;
  • 47) 0,582 980 002 250 752 × 2 = 1 + 0,165 960 004 501 504;
  • 48) 0,165 960 004 501 504 × 2 = 0 + 0,331 920 009 003 008;
  • 49) 0,331 920 009 003 008 × 2 = 0 + 0,663 840 018 006 016;
  • 50) 0,663 840 018 006 016 × 2 = 1 + 0,327 680 036 012 032;
  • 51) 0,327 680 036 012 032 × 2 = 0 + 0,655 360 072 024 064;
  • 52) 0,655 360 072 024 064 × 2 = 1 + 0,310 720 144 048 128;
  • 53) 0,310 720 144 048 128 × 2 = 0 + 0,621 440 288 096 256;
  • 54) 0,621 440 288 096 256 × 2 = 1 + 0,242 880 576 192 512;
  • 55) 0,242 880 576 192 512 × 2 = 0 + 0,485 761 152 385 024;
  • 56) 0,485 761 152 385 024 × 2 = 0 + 0,971 522 304 770 048;
  • 57) 0,971 522 304 770 048 × 2 = 1 + 0,943 044 609 540 096;
  • 58) 0,943 044 609 540 096 × 2 = 1 + 0,886 089 219 080 192;
  • 59) 0,886 089 219 080 192 × 2 = 1 + 0,772 178 438 160 384;
  • 60) 0,772 178 438 160 384 × 2 = 1 + 0,544 356 876 320 768;
  • 61) 0,544 356 876 320 768 × 2 = 1 + 0,088 713 752 641 536;
  • 62) 0,088 713 752 641 536 × 2 = 0 + 0,177 427 505 283 072;
  • 63) 0,177 427 505 283 072 × 2 = 0 + 0,354 855 010 566 144;
  • 64) 0,354 855 010 566 144 × 2 = 0 + 0,709 710 021 132 288;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 593(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 593(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 593(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 593 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0010 0101 0100 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100