-0,000 282 005 914 601 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 601(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 601(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 601| = 0,000 282 005 914 601


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 601.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 601 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 202;
  • 2) 0,000 564 011 829 202 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 404;
  • 3) 0,001 128 023 658 404 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 808;
  • 4) 0,002 256 047 316 808 × 2 = 0 + 0,004 512 094 633 616;
  • 5) 0,004 512 094 633 616 × 2 = 0 + 0,009 024 189 267 232;
  • 6) 0,009 024 189 267 232 × 2 = 0 + 0,018 048 378 534 464;
  • 7) 0,018 048 378 534 464 × 2 = 0 + 0,036 096 757 068 928;
  • 8) 0,036 096 757 068 928 × 2 = 0 + 0,072 193 514 137 856;
  • 9) 0,072 193 514 137 856 × 2 = 0 + 0,144 387 028 275 712;
  • 10) 0,144 387 028 275 712 × 2 = 0 + 0,288 774 056 551 424;
  • 11) 0,288 774 056 551 424 × 2 = 0 + 0,577 548 113 102 848;
  • 12) 0,577 548 113 102 848 × 2 = 1 + 0,155 096 226 205 696;
  • 13) 0,155 096 226 205 696 × 2 = 0 + 0,310 192 452 411 392;
  • 14) 0,310 192 452 411 392 × 2 = 0 + 0,620 384 904 822 784;
  • 15) 0,620 384 904 822 784 × 2 = 1 + 0,240 769 809 645 568;
  • 16) 0,240 769 809 645 568 × 2 = 0 + 0,481 539 619 291 136;
  • 17) 0,481 539 619 291 136 × 2 = 0 + 0,963 079 238 582 272;
  • 18) 0,963 079 238 582 272 × 2 = 1 + 0,926 158 477 164 544;
  • 19) 0,926 158 477 164 544 × 2 = 1 + 0,852 316 954 329 088;
  • 20) 0,852 316 954 329 088 × 2 = 1 + 0,704 633 908 658 176;
  • 21) 0,704 633 908 658 176 × 2 = 1 + 0,409 267 817 316 352;
  • 22) 0,409 267 817 316 352 × 2 = 0 + 0,818 535 634 632 704;
  • 23) 0,818 535 634 632 704 × 2 = 1 + 0,637 071 269 265 408;
  • 24) 0,637 071 269 265 408 × 2 = 1 + 0,274 142 538 530 816;
  • 25) 0,274 142 538 530 816 × 2 = 0 + 0,548 285 077 061 632;
  • 26) 0,548 285 077 061 632 × 2 = 1 + 0,096 570 154 123 264;
  • 27) 0,096 570 154 123 264 × 2 = 0 + 0,193 140 308 246 528;
  • 28) 0,193 140 308 246 528 × 2 = 0 + 0,386 280 616 493 056;
  • 29) 0,386 280 616 493 056 × 2 = 0 + 0,772 561 232 986 112;
  • 30) 0,772 561 232 986 112 × 2 = 1 + 0,545 122 465 972 224;
  • 31) 0,545 122 465 972 224 × 2 = 1 + 0,090 244 931 944 448;
  • 32) 0,090 244 931 944 448 × 2 = 0 + 0,180 489 863 888 896;
  • 33) 0,180 489 863 888 896 × 2 = 0 + 0,360 979 727 777 792;
  • 34) 0,360 979 727 777 792 × 2 = 0 + 0,721 959 455 555 584;
  • 35) 0,721 959 455 555 584 × 2 = 1 + 0,443 918 911 111 168;
  • 36) 0,443 918 911 111 168 × 2 = 0 + 0,887 837 822 222 336;
  • 37) 0,887 837 822 222 336 × 2 = 1 + 0,775 675 644 444 672;
  • 38) 0,775 675 644 444 672 × 2 = 1 + 0,551 351 288 889 344;
  • 39) 0,551 351 288 889 344 × 2 = 1 + 0,102 702 577 778 688;
  • 40) 0,102 702 577 778 688 × 2 = 0 + 0,205 405 155 557 376;
  • 41) 0,205 405 155 557 376 × 2 = 0 + 0,410 810 311 114 752;
  • 42) 0,410 810 311 114 752 × 2 = 0 + 0,821 620 622 229 504;
  • 43) 0,821 620 622 229 504 × 2 = 1 + 0,643 241 244 459 008;
  • 44) 0,643 241 244 459 008 × 2 = 1 + 0,286 482 488 918 016;
  • 45) 0,286 482 488 918 016 × 2 = 0 + 0,572 964 977 836 032;
  • 46) 0,572 964 977 836 032 × 2 = 1 + 0,145 929 955 672 064;
  • 47) 0,145 929 955 672 064 × 2 = 0 + 0,291 859 911 344 128;
  • 48) 0,291 859 911 344 128 × 2 = 0 + 0,583 719 822 688 256;
  • 49) 0,583 719 822 688 256 × 2 = 1 + 0,167 439 645 376 512;
  • 50) 0,167 439 645 376 512 × 2 = 0 + 0,334 879 290 753 024;
  • 51) 0,334 879 290 753 024 × 2 = 0 + 0,669 758 581 506 048;
  • 52) 0,669 758 581 506 048 × 2 = 1 + 0,339 517 163 012 096;
  • 53) 0,339 517 163 012 096 × 2 = 0 + 0,679 034 326 024 192;
  • 54) 0,679 034 326 024 192 × 2 = 1 + 0,358 068 652 048 384;
  • 55) 0,358 068 652 048 384 × 2 = 0 + 0,716 137 304 096 768;
  • 56) 0,716 137 304 096 768 × 2 = 1 + 0,432 274 608 193 536;
  • 57) 0,432 274 608 193 536 × 2 = 0 + 0,864 549 216 387 072;
  • 58) 0,864 549 216 387 072 × 2 = 1 + 0,729 098 432 774 144;
  • 59) 0,729 098 432 774 144 × 2 = 1 + 0,458 196 865 548 288;
  • 60) 0,458 196 865 548 288 × 2 = 0 + 0,916 393 731 096 576;
  • 61) 0,916 393 731 096 576 × 2 = 1 + 0,832 787 462 193 152;
  • 62) 0,832 787 462 193 152 × 2 = 1 + 0,665 574 924 386 304;
  • 63) 0,665 574 924 386 304 × 2 = 1 + 0,331 149 848 772 608;
  • 64) 0,331 149 848 772 608 × 2 = 0 + 0,662 299 697 545 216;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 601(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 601(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 601(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 601 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 1001 0101 0110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 513 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100