-0,000 282 005 914 64 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 64(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 64(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 64| = 0,000 282 005 914 64


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 64.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 64 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 28;
  • 2) 0,000 564 011 829 28 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 56;
  • 3) 0,001 128 023 658 56 × 2 = 0 + 0,002 256 047 317 12;
  • 4) 0,002 256 047 317 12 × 2 = 0 + 0,004 512 094 634 24;
  • 5) 0,004 512 094 634 24 × 2 = 0 + 0,009 024 189 268 48;
  • 6) 0,009 024 189 268 48 × 2 = 0 + 0,018 048 378 536 96;
  • 7) 0,018 048 378 536 96 × 2 = 0 + 0,036 096 757 073 92;
  • 8) 0,036 096 757 073 92 × 2 = 0 + 0,072 193 514 147 84;
  • 9) 0,072 193 514 147 84 × 2 = 0 + 0,144 387 028 295 68;
  • 10) 0,144 387 028 295 68 × 2 = 0 + 0,288 774 056 591 36;
  • 11) 0,288 774 056 591 36 × 2 = 0 + 0,577 548 113 182 72;
  • 12) 0,577 548 113 182 72 × 2 = 1 + 0,155 096 226 365 44;
  • 13) 0,155 096 226 365 44 × 2 = 0 + 0,310 192 452 730 88;
  • 14) 0,310 192 452 730 88 × 2 = 0 + 0,620 384 905 461 76;
  • 15) 0,620 384 905 461 76 × 2 = 1 + 0,240 769 810 923 52;
  • 16) 0,240 769 810 923 52 × 2 = 0 + 0,481 539 621 847 04;
  • 17) 0,481 539 621 847 04 × 2 = 0 + 0,963 079 243 694 08;
  • 18) 0,963 079 243 694 08 × 2 = 1 + 0,926 158 487 388 16;
  • 19) 0,926 158 487 388 16 × 2 = 1 + 0,852 316 974 776 32;
  • 20) 0,852 316 974 776 32 × 2 = 1 + 0,704 633 949 552 64;
  • 21) 0,704 633 949 552 64 × 2 = 1 + 0,409 267 899 105 28;
  • 22) 0,409 267 899 105 28 × 2 = 0 + 0,818 535 798 210 56;
  • 23) 0,818 535 798 210 56 × 2 = 1 + 0,637 071 596 421 12;
  • 24) 0,637 071 596 421 12 × 2 = 1 + 0,274 143 192 842 24;
  • 25) 0,274 143 192 842 24 × 2 = 0 + 0,548 286 385 684 48;
  • 26) 0,548 286 385 684 48 × 2 = 1 + 0,096 572 771 368 96;
  • 27) 0,096 572 771 368 96 × 2 = 0 + 0,193 145 542 737 92;
  • 28) 0,193 145 542 737 92 × 2 = 0 + 0,386 291 085 475 84;
  • 29) 0,386 291 085 475 84 × 2 = 0 + 0,772 582 170 951 68;
  • 30) 0,772 582 170 951 68 × 2 = 1 + 0,545 164 341 903 36;
  • 31) 0,545 164 341 903 36 × 2 = 1 + 0,090 328 683 806 72;
  • 32) 0,090 328 683 806 72 × 2 = 0 + 0,180 657 367 613 44;
  • 33) 0,180 657 367 613 44 × 2 = 0 + 0,361 314 735 226 88;
  • 34) 0,361 314 735 226 88 × 2 = 0 + 0,722 629 470 453 76;
  • 35) 0,722 629 470 453 76 × 2 = 1 + 0,445 258 940 907 52;
  • 36) 0,445 258 940 907 52 × 2 = 0 + 0,890 517 881 815 04;
  • 37) 0,890 517 881 815 04 × 2 = 1 + 0,781 035 763 630 08;
  • 38) 0,781 035 763 630 08 × 2 = 1 + 0,562 071 527 260 16;
  • 39) 0,562 071 527 260 16 × 2 = 1 + 0,124 143 054 520 32;
  • 40) 0,124 143 054 520 32 × 2 = 0 + 0,248 286 109 040 64;
  • 41) 0,248 286 109 040 64 × 2 = 0 + 0,496 572 218 081 28;
  • 42) 0,496 572 218 081 28 × 2 = 0 + 0,993 144 436 162 56;
  • 43) 0,993 144 436 162 56 × 2 = 1 + 0,986 288 872 325 12;
  • 44) 0,986 288 872 325 12 × 2 = 1 + 0,972 577 744 650 24;
  • 45) 0,972 577 744 650 24 × 2 = 1 + 0,945 155 489 300 48;
  • 46) 0,945 155 489 300 48 × 2 = 1 + 0,890 310 978 600 96;
  • 47) 0,890 310 978 600 96 × 2 = 1 + 0,780 621 957 201 92;
  • 48) 0,780 621 957 201 92 × 2 = 1 + 0,561 243 914 403 84;
  • 49) 0,561 243 914 403 84 × 2 = 1 + 0,122 487 828 807 68;
  • 50) 0,122 487 828 807 68 × 2 = 0 + 0,244 975 657 615 36;
  • 51) 0,244 975 657 615 36 × 2 = 0 + 0,489 951 315 230 72;
  • 52) 0,489 951 315 230 72 × 2 = 0 + 0,979 902 630 461 44;
  • 53) 0,979 902 630 461 44 × 2 = 1 + 0,959 805 260 922 88;
  • 54) 0,959 805 260 922 88 × 2 = 1 + 0,919 610 521 845 76;
  • 55) 0,919 610 521 845 76 × 2 = 1 + 0,839 221 043 691 52;
  • 56) 0,839 221 043 691 52 × 2 = 1 + 0,678 442 087 383 04;
  • 57) 0,678 442 087 383 04 × 2 = 1 + 0,356 884 174 766 08;
  • 58) 0,356 884 174 766 08 × 2 = 0 + 0,713 768 349 532 16;
  • 59) 0,713 768 349 532 16 × 2 = 1 + 0,427 536 699 064 32;
  • 60) 0,427 536 699 064 32 × 2 = 0 + 0,855 073 398 128 64;
  • 61) 0,855 073 398 128 64 × 2 = 1 + 0,710 146 796 257 28;
  • 62) 0,710 146 796 257 28 × 2 = 1 + 0,420 293 592 514 56;
  • 63) 0,420 293 592 514 56 × 2 = 0 + 0,840 587 185 029 12;
  • 64) 0,840 587 185 029 12 × 2 = 1 + 0,681 174 370 058 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 64 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 1111 1000 1111 1010 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 41 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100