-0,000 282 005 915 17 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 17(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 17(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 17| = 0,000 282 005 915 17


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 17.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 17 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 34;
  • 2) 0,000 564 011 830 34 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 68;
  • 3) 0,001 128 023 660 68 × 2 = 0 + 0,002 256 047 321 36;
  • 4) 0,002 256 047 321 36 × 2 = 0 + 0,004 512 094 642 72;
  • 5) 0,004 512 094 642 72 × 2 = 0 + 0,009 024 189 285 44;
  • 6) 0,009 024 189 285 44 × 2 = 0 + 0,018 048 378 570 88;
  • 7) 0,018 048 378 570 88 × 2 = 0 + 0,036 096 757 141 76;
  • 8) 0,036 096 757 141 76 × 2 = 0 + 0,072 193 514 283 52;
  • 9) 0,072 193 514 283 52 × 2 = 0 + 0,144 387 028 567 04;
  • 10) 0,144 387 028 567 04 × 2 = 0 + 0,288 774 057 134 08;
  • 11) 0,288 774 057 134 08 × 2 = 0 + 0,577 548 114 268 16;
  • 12) 0,577 548 114 268 16 × 2 = 1 + 0,155 096 228 536 32;
  • 13) 0,155 096 228 536 32 × 2 = 0 + 0,310 192 457 072 64;
  • 14) 0,310 192 457 072 64 × 2 = 0 + 0,620 384 914 145 28;
  • 15) 0,620 384 914 145 28 × 2 = 1 + 0,240 769 828 290 56;
  • 16) 0,240 769 828 290 56 × 2 = 0 + 0,481 539 656 581 12;
  • 17) 0,481 539 656 581 12 × 2 = 0 + 0,963 079 313 162 24;
  • 18) 0,963 079 313 162 24 × 2 = 1 + 0,926 158 626 324 48;
  • 19) 0,926 158 626 324 48 × 2 = 1 + 0,852 317 252 648 96;
  • 20) 0,852 317 252 648 96 × 2 = 1 + 0,704 634 505 297 92;
  • 21) 0,704 634 505 297 92 × 2 = 1 + 0,409 269 010 595 84;
  • 22) 0,409 269 010 595 84 × 2 = 0 + 0,818 538 021 191 68;
  • 23) 0,818 538 021 191 68 × 2 = 1 + 0,637 076 042 383 36;
  • 24) 0,637 076 042 383 36 × 2 = 1 + 0,274 152 084 766 72;
  • 25) 0,274 152 084 766 72 × 2 = 0 + 0,548 304 169 533 44;
  • 26) 0,548 304 169 533 44 × 2 = 1 + 0,096 608 339 066 88;
  • 27) 0,096 608 339 066 88 × 2 = 0 + 0,193 216 678 133 76;
  • 28) 0,193 216 678 133 76 × 2 = 0 + 0,386 433 356 267 52;
  • 29) 0,386 433 356 267 52 × 2 = 0 + 0,772 866 712 535 04;
  • 30) 0,772 866 712 535 04 × 2 = 1 + 0,545 733 425 070 08;
  • 31) 0,545 733 425 070 08 × 2 = 1 + 0,091 466 850 140 16;
  • 32) 0,091 466 850 140 16 × 2 = 0 + 0,182 933 700 280 32;
  • 33) 0,182 933 700 280 32 × 2 = 0 + 0,365 867 400 560 64;
  • 34) 0,365 867 400 560 64 × 2 = 0 + 0,731 734 801 121 28;
  • 35) 0,731 734 801 121 28 × 2 = 1 + 0,463 469 602 242 56;
  • 36) 0,463 469 602 242 56 × 2 = 0 + 0,926 939 204 485 12;
  • 37) 0,926 939 204 485 12 × 2 = 1 + 0,853 878 408 970 24;
  • 38) 0,853 878 408 970 24 × 2 = 1 + 0,707 756 817 940 48;
  • 39) 0,707 756 817 940 48 × 2 = 1 + 0,415 513 635 880 96;
  • 40) 0,415 513 635 880 96 × 2 = 0 + 0,831 027 271 761 92;
  • 41) 0,831 027 271 761 92 × 2 = 1 + 0,662 054 543 523 84;
  • 42) 0,662 054 543 523 84 × 2 = 1 + 0,324 109 087 047 68;
  • 43) 0,324 109 087 047 68 × 2 = 0 + 0,648 218 174 095 36;
  • 44) 0,648 218 174 095 36 × 2 = 1 + 0,296 436 348 190 72;
  • 45) 0,296 436 348 190 72 × 2 = 0 + 0,592 872 696 381 44;
  • 46) 0,592 872 696 381 44 × 2 = 1 + 0,185 745 392 762 88;
  • 47) 0,185 745 392 762 88 × 2 = 0 + 0,371 490 785 525 76;
  • 48) 0,371 490 785 525 76 × 2 = 0 + 0,742 981 571 051 52;
  • 49) 0,742 981 571 051 52 × 2 = 1 + 0,485 963 142 103 04;
  • 50) 0,485 963 142 103 04 × 2 = 0 + 0,971 926 284 206 08;
  • 51) 0,971 926 284 206 08 × 2 = 1 + 0,943 852 568 412 16;
  • 52) 0,943 852 568 412 16 × 2 = 1 + 0,887 705 136 824 32;
  • 53) 0,887 705 136 824 32 × 2 = 1 + 0,775 410 273 648 64;
  • 54) 0,775 410 273 648 64 × 2 = 1 + 0,550 820 547 297 28;
  • 55) 0,550 820 547 297 28 × 2 = 1 + 0,101 641 094 594 56;
  • 56) 0,101 641 094 594 56 × 2 = 0 + 0,203 282 189 189 12;
  • 57) 0,203 282 189 189 12 × 2 = 0 + 0,406 564 378 378 24;
  • 58) 0,406 564 378 378 24 × 2 = 0 + 0,813 128 756 756 48;
  • 59) 0,813 128 756 756 48 × 2 = 1 + 0,626 257 513 512 96;
  • 60) 0,626 257 513 512 96 × 2 = 1 + 0,252 515 027 025 92;
  • 61) 0,252 515 027 025 92 × 2 = 0 + 0,505 030 054 051 84;
  • 62) 0,505 030 054 051 84 × 2 = 1 + 0,010 060 108 103 68;
  • 63) 0,010 060 108 103 68 × 2 = 0 + 0,020 120 216 207 36;
  • 64) 0,020 120 216 207 36 × 2 = 0 + 0,040 240 432 414 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 17(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 17(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 17(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 17 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0100 1011 1110 0011 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 58 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100