-0,000 282 005 915 18 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 18(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 18(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 18| = 0,000 282 005 915 18


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 18.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 18 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 36;
  • 2) 0,000 564 011 830 36 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 72;
  • 3) 0,001 128 023 660 72 × 2 = 0 + 0,002 256 047 321 44;
  • 4) 0,002 256 047 321 44 × 2 = 0 + 0,004 512 094 642 88;
  • 5) 0,004 512 094 642 88 × 2 = 0 + 0,009 024 189 285 76;
  • 6) 0,009 024 189 285 76 × 2 = 0 + 0,018 048 378 571 52;
  • 7) 0,018 048 378 571 52 × 2 = 0 + 0,036 096 757 143 04;
  • 8) 0,036 096 757 143 04 × 2 = 0 + 0,072 193 514 286 08;
  • 9) 0,072 193 514 286 08 × 2 = 0 + 0,144 387 028 572 16;
  • 10) 0,144 387 028 572 16 × 2 = 0 + 0,288 774 057 144 32;
  • 11) 0,288 774 057 144 32 × 2 = 0 + 0,577 548 114 288 64;
  • 12) 0,577 548 114 288 64 × 2 = 1 + 0,155 096 228 577 28;
  • 13) 0,155 096 228 577 28 × 2 = 0 + 0,310 192 457 154 56;
  • 14) 0,310 192 457 154 56 × 2 = 0 + 0,620 384 914 309 12;
  • 15) 0,620 384 914 309 12 × 2 = 1 + 0,240 769 828 618 24;
  • 16) 0,240 769 828 618 24 × 2 = 0 + 0,481 539 657 236 48;
  • 17) 0,481 539 657 236 48 × 2 = 0 + 0,963 079 314 472 96;
  • 18) 0,963 079 314 472 96 × 2 = 1 + 0,926 158 628 945 92;
  • 19) 0,926 158 628 945 92 × 2 = 1 + 0,852 317 257 891 84;
  • 20) 0,852 317 257 891 84 × 2 = 1 + 0,704 634 515 783 68;
  • 21) 0,704 634 515 783 68 × 2 = 1 + 0,409 269 031 567 36;
  • 22) 0,409 269 031 567 36 × 2 = 0 + 0,818 538 063 134 72;
  • 23) 0,818 538 063 134 72 × 2 = 1 + 0,637 076 126 269 44;
  • 24) 0,637 076 126 269 44 × 2 = 1 + 0,274 152 252 538 88;
  • 25) 0,274 152 252 538 88 × 2 = 0 + 0,548 304 505 077 76;
  • 26) 0,548 304 505 077 76 × 2 = 1 + 0,096 609 010 155 52;
  • 27) 0,096 609 010 155 52 × 2 = 0 + 0,193 218 020 311 04;
  • 28) 0,193 218 020 311 04 × 2 = 0 + 0,386 436 040 622 08;
  • 29) 0,386 436 040 622 08 × 2 = 0 + 0,772 872 081 244 16;
  • 30) 0,772 872 081 244 16 × 2 = 1 + 0,545 744 162 488 32;
  • 31) 0,545 744 162 488 32 × 2 = 1 + 0,091 488 324 976 64;
  • 32) 0,091 488 324 976 64 × 2 = 0 + 0,182 976 649 953 28;
  • 33) 0,182 976 649 953 28 × 2 = 0 + 0,365 953 299 906 56;
  • 34) 0,365 953 299 906 56 × 2 = 0 + 0,731 906 599 813 12;
  • 35) 0,731 906 599 813 12 × 2 = 1 + 0,463 813 199 626 24;
  • 36) 0,463 813 199 626 24 × 2 = 0 + 0,927 626 399 252 48;
  • 37) 0,927 626 399 252 48 × 2 = 1 + 0,855 252 798 504 96;
  • 38) 0,855 252 798 504 96 × 2 = 1 + 0,710 505 597 009 92;
  • 39) 0,710 505 597 009 92 × 2 = 1 + 0,421 011 194 019 84;
  • 40) 0,421 011 194 019 84 × 2 = 0 + 0,842 022 388 039 68;
  • 41) 0,842 022 388 039 68 × 2 = 1 + 0,684 044 776 079 36;
  • 42) 0,684 044 776 079 36 × 2 = 1 + 0,368 089 552 158 72;
  • 43) 0,368 089 552 158 72 × 2 = 0 + 0,736 179 104 317 44;
  • 44) 0,736 179 104 317 44 × 2 = 1 + 0,472 358 208 634 88;
  • 45) 0,472 358 208 634 88 × 2 = 0 + 0,944 716 417 269 76;
  • 46) 0,944 716 417 269 76 × 2 = 1 + 0,889 432 834 539 52;
  • 47) 0,889 432 834 539 52 × 2 = 1 + 0,778 865 669 079 04;
  • 48) 0,778 865 669 079 04 × 2 = 1 + 0,557 731 338 158 08;
  • 49) 0,557 731 338 158 08 × 2 = 1 + 0,115 462 676 316 16;
  • 50) 0,115 462 676 316 16 × 2 = 0 + 0,230 925 352 632 32;
  • 51) 0,230 925 352 632 32 × 2 = 0 + 0,461 850 705 264 64;
  • 52) 0,461 850 705 264 64 × 2 = 0 + 0,923 701 410 529 28;
  • 53) 0,923 701 410 529 28 × 2 = 1 + 0,847 402 821 058 56;
  • 54) 0,847 402 821 058 56 × 2 = 1 + 0,694 805 642 117 12;
  • 55) 0,694 805 642 117 12 × 2 = 1 + 0,389 611 284 234 24;
  • 56) 0,389 611 284 234 24 × 2 = 0 + 0,779 222 568 468 48;
  • 57) 0,779 222 568 468 48 × 2 = 1 + 0,558 445 136 936 96;
  • 58) 0,558 445 136 936 96 × 2 = 1 + 0,116 890 273 873 92;
  • 59) 0,116 890 273 873 92 × 2 = 0 + 0,233 780 547 747 84;
  • 60) 0,233 780 547 747 84 × 2 = 0 + 0,467 561 095 495 68;
  • 61) 0,467 561 095 495 68 × 2 = 0 + 0,935 122 190 991 36;
  • 62) 0,935 122 190 991 36 × 2 = 1 + 0,870 244 381 982 72;
  • 63) 0,870 244 381 982 72 × 2 = 1 + 0,740 488 763 965 44;
  • 64) 0,740 488 763 965 44 × 2 = 1 + 0,480 977 527 930 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 18 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 0111 1000 1110 1100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 09 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100