-0,000 282 005 915 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 2| = 0,000 282 005 915 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 4;
  • 2) 0,000 564 011 830 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 8;
  • 3) 0,001 128 023 660 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 321 6;
  • 4) 0,002 256 047 321 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 643 2;
  • 5) 0,004 512 094 643 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 286 4;
  • 6) 0,009 024 189 286 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 572 8;
  • 7) 0,018 048 378 572 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 145 6;
  • 8) 0,036 096 757 145 6 × 2 = 0 + 0,072 193 514 291 2;
  • 9) 0,072 193 514 291 2 × 2 = 0 + 0,144 387 028 582 4;
  • 10) 0,144 387 028 582 4 × 2 = 0 + 0,288 774 057 164 8;
  • 11) 0,288 774 057 164 8 × 2 = 0 + 0,577 548 114 329 6;
  • 12) 0,577 548 114 329 6 × 2 = 1 + 0,155 096 228 659 2;
  • 13) 0,155 096 228 659 2 × 2 = 0 + 0,310 192 457 318 4;
  • 14) 0,310 192 457 318 4 × 2 = 0 + 0,620 384 914 636 8;
  • 15) 0,620 384 914 636 8 × 2 = 1 + 0,240 769 829 273 6;
  • 16) 0,240 769 829 273 6 × 2 = 0 + 0,481 539 658 547 2;
  • 17) 0,481 539 658 547 2 × 2 = 0 + 0,963 079 317 094 4;
  • 18) 0,963 079 317 094 4 × 2 = 1 + 0,926 158 634 188 8;
  • 19) 0,926 158 634 188 8 × 2 = 1 + 0,852 317 268 377 6;
  • 20) 0,852 317 268 377 6 × 2 = 1 + 0,704 634 536 755 2;
  • 21) 0,704 634 536 755 2 × 2 = 1 + 0,409 269 073 510 4;
  • 22) 0,409 269 073 510 4 × 2 = 0 + 0,818 538 147 020 8;
  • 23) 0,818 538 147 020 8 × 2 = 1 + 0,637 076 294 041 6;
  • 24) 0,637 076 294 041 6 × 2 = 1 + 0,274 152 588 083 2;
  • 25) 0,274 152 588 083 2 × 2 = 0 + 0,548 305 176 166 4;
  • 26) 0,548 305 176 166 4 × 2 = 1 + 0,096 610 352 332 8;
  • 27) 0,096 610 352 332 8 × 2 = 0 + 0,193 220 704 665 6;
  • 28) 0,193 220 704 665 6 × 2 = 0 + 0,386 441 409 331 2;
  • 29) 0,386 441 409 331 2 × 2 = 0 + 0,772 882 818 662 4;
  • 30) 0,772 882 818 662 4 × 2 = 1 + 0,545 765 637 324 8;
  • 31) 0,545 765 637 324 8 × 2 = 1 + 0,091 531 274 649 6;
  • 32) 0,091 531 274 649 6 × 2 = 0 + 0,183 062 549 299 2;
  • 33) 0,183 062 549 299 2 × 2 = 0 + 0,366 125 098 598 4;
  • 34) 0,366 125 098 598 4 × 2 = 0 + 0,732 250 197 196 8;
  • 35) 0,732 250 197 196 8 × 2 = 1 + 0,464 500 394 393 6;
  • 36) 0,464 500 394 393 6 × 2 = 0 + 0,929 000 788 787 2;
  • 37) 0,929 000 788 787 2 × 2 = 1 + 0,858 001 577 574 4;
  • 38) 0,858 001 577 574 4 × 2 = 1 + 0,716 003 155 148 8;
  • 39) 0,716 003 155 148 8 × 2 = 1 + 0,432 006 310 297 6;
  • 40) 0,432 006 310 297 6 × 2 = 0 + 0,864 012 620 595 2;
  • 41) 0,864 012 620 595 2 × 2 = 1 + 0,728 025 241 190 4;
  • 42) 0,728 025 241 190 4 × 2 = 1 + 0,456 050 482 380 8;
  • 43) 0,456 050 482 380 8 × 2 = 0 + 0,912 100 964 761 6;
  • 44) 0,912 100 964 761 6 × 2 = 1 + 0,824 201 929 523 2;
  • 45) 0,824 201 929 523 2 × 2 = 1 + 0,648 403 859 046 4;
  • 46) 0,648 403 859 046 4 × 2 = 1 + 0,296 807 718 092 8;
  • 47) 0,296 807 718 092 8 × 2 = 0 + 0,593 615 436 185 6;
  • 48) 0,593 615 436 185 6 × 2 = 1 + 0,187 230 872 371 2;
  • 49) 0,187 230 872 371 2 × 2 = 0 + 0,374 461 744 742 4;
  • 50) 0,374 461 744 742 4 × 2 = 0 + 0,748 923 489 484 8;
  • 51) 0,748 923 489 484 8 × 2 = 1 + 0,497 846 978 969 6;
  • 52) 0,497 846 978 969 6 × 2 = 0 + 0,995 693 957 939 2;
  • 53) 0,995 693 957 939 2 × 2 = 1 + 0,991 387 915 878 4;
  • 54) 0,991 387 915 878 4 × 2 = 1 + 0,982 775 831 756 8;
  • 55) 0,982 775 831 756 8 × 2 = 1 + 0,965 551 663 513 6;
  • 56) 0,965 551 663 513 6 × 2 = 1 + 0,931 103 327 027 2;
  • 57) 0,931 103 327 027 2 × 2 = 1 + 0,862 206 654 054 4;
  • 58) 0,862 206 654 054 4 × 2 = 1 + 0,724 413 308 108 8;
  • 59) 0,724 413 308 108 8 × 2 = 1 + 0,448 826 616 217 6;
  • 60) 0,448 826 616 217 6 × 2 = 0 + 0,897 653 232 435 2;
  • 61) 0,897 653 232 435 2 × 2 = 1 + 0,795 306 464 870 4;
  • 62) 0,795 306 464 870 4 × 2 = 1 + 0,590 612 929 740 8;
  • 63) 0,590 612 929 740 8 × 2 = 1 + 0,181 225 859 481 6;
  • 64) 0,181 225 859 481 6 × 2 = 0 + 0,362 451 718 963 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1101 1101 0010 1111 1110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100