-0,000 282 005 915 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 37| = 0,000 282 005 915 37


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 37 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 74;
  • 2) 0,000 564 011 830 74 × 2 = 0 + 0,001 128 023 661 48;
  • 3) 0,001 128 023 661 48 × 2 = 0 + 0,002 256 047 322 96;
  • 4) 0,002 256 047 322 96 × 2 = 0 + 0,004 512 094 645 92;
  • 5) 0,004 512 094 645 92 × 2 = 0 + 0,009 024 189 291 84;
  • 6) 0,009 024 189 291 84 × 2 = 0 + 0,018 048 378 583 68;
  • 7) 0,018 048 378 583 68 × 2 = 0 + 0,036 096 757 167 36;
  • 8) 0,036 096 757 167 36 × 2 = 0 + 0,072 193 514 334 72;
  • 9) 0,072 193 514 334 72 × 2 = 0 + 0,144 387 028 669 44;
  • 10) 0,144 387 028 669 44 × 2 = 0 + 0,288 774 057 338 88;
  • 11) 0,288 774 057 338 88 × 2 = 0 + 0,577 548 114 677 76;
  • 12) 0,577 548 114 677 76 × 2 = 1 + 0,155 096 229 355 52;
  • 13) 0,155 096 229 355 52 × 2 = 0 + 0,310 192 458 711 04;
  • 14) 0,310 192 458 711 04 × 2 = 0 + 0,620 384 917 422 08;
  • 15) 0,620 384 917 422 08 × 2 = 1 + 0,240 769 834 844 16;
  • 16) 0,240 769 834 844 16 × 2 = 0 + 0,481 539 669 688 32;
  • 17) 0,481 539 669 688 32 × 2 = 0 + 0,963 079 339 376 64;
  • 18) 0,963 079 339 376 64 × 2 = 1 + 0,926 158 678 753 28;
  • 19) 0,926 158 678 753 28 × 2 = 1 + 0,852 317 357 506 56;
  • 20) 0,852 317 357 506 56 × 2 = 1 + 0,704 634 715 013 12;
  • 21) 0,704 634 715 013 12 × 2 = 1 + 0,409 269 430 026 24;
  • 22) 0,409 269 430 026 24 × 2 = 0 + 0,818 538 860 052 48;
  • 23) 0,818 538 860 052 48 × 2 = 1 + 0,637 077 720 104 96;
  • 24) 0,637 077 720 104 96 × 2 = 1 + 0,274 155 440 209 92;
  • 25) 0,274 155 440 209 92 × 2 = 0 + 0,548 310 880 419 84;
  • 26) 0,548 310 880 419 84 × 2 = 1 + 0,096 621 760 839 68;
  • 27) 0,096 621 760 839 68 × 2 = 0 + 0,193 243 521 679 36;
  • 28) 0,193 243 521 679 36 × 2 = 0 + 0,386 487 043 358 72;
  • 29) 0,386 487 043 358 72 × 2 = 0 + 0,772 974 086 717 44;
  • 30) 0,772 974 086 717 44 × 2 = 1 + 0,545 948 173 434 88;
  • 31) 0,545 948 173 434 88 × 2 = 1 + 0,091 896 346 869 76;
  • 32) 0,091 896 346 869 76 × 2 = 0 + 0,183 792 693 739 52;
  • 33) 0,183 792 693 739 52 × 2 = 0 + 0,367 585 387 479 04;
  • 34) 0,367 585 387 479 04 × 2 = 0 + 0,735 170 774 958 08;
  • 35) 0,735 170 774 958 08 × 2 = 1 + 0,470 341 549 916 16;
  • 36) 0,470 341 549 916 16 × 2 = 0 + 0,940 683 099 832 32;
  • 37) 0,940 683 099 832 32 × 2 = 1 + 0,881 366 199 664 64;
  • 38) 0,881 366 199 664 64 × 2 = 1 + 0,762 732 399 329 28;
  • 39) 0,762 732 399 329 28 × 2 = 1 + 0,525 464 798 658 56;
  • 40) 0,525 464 798 658 56 × 2 = 1 + 0,050 929 597 317 12;
  • 41) 0,050 929 597 317 12 × 2 = 0 + 0,101 859 194 634 24;
  • 42) 0,101 859 194 634 24 × 2 = 0 + 0,203 718 389 268 48;
  • 43) 0,203 718 389 268 48 × 2 = 0 + 0,407 436 778 536 96;
  • 44) 0,407 436 778 536 96 × 2 = 0 + 0,814 873 557 073 92;
  • 45) 0,814 873 557 073 92 × 2 = 1 + 0,629 747 114 147 84;
  • 46) 0,629 747 114 147 84 × 2 = 1 + 0,259 494 228 295 68;
  • 47) 0,259 494 228 295 68 × 2 = 0 + 0,518 988 456 591 36;
  • 48) 0,518 988 456 591 36 × 2 = 1 + 0,037 976 913 182 72;
  • 49) 0,037 976 913 182 72 × 2 = 0 + 0,075 953 826 365 44;
  • 50) 0,075 953 826 365 44 × 2 = 0 + 0,151 907 652 730 88;
  • 51) 0,151 907 652 730 88 × 2 = 0 + 0,303 815 305 461 76;
  • 52) 0,303 815 305 461 76 × 2 = 0 + 0,607 630 610 923 52;
  • 53) 0,607 630 610 923 52 × 2 = 1 + 0,215 261 221 847 04;
  • 54) 0,215 261 221 847 04 × 2 = 0 + 0,430 522 443 694 08;
  • 55) 0,430 522 443 694 08 × 2 = 0 + 0,861 044 887 388 16;
  • 56) 0,861 044 887 388 16 × 2 = 1 + 0,722 089 774 776 32;
  • 57) 0,722 089 774 776 32 × 2 = 1 + 0,444 179 549 552 64;
  • 58) 0,444 179 549 552 64 × 2 = 0 + 0,888 359 099 105 28;
  • 59) 0,888 359 099 105 28 × 2 = 1 + 0,776 718 198 210 56;
  • 60) 0,776 718 198 210 56 × 2 = 1 + 0,553 436 396 421 12;
  • 61) 0,553 436 396 421 12 × 2 = 1 + 0,106 872 792 842 24;
  • 62) 0,106 872 792 842 24 × 2 = 0 + 0,213 745 585 684 48;
  • 63) 0,213 745 585 684 48 × 2 = 0 + 0,427 491 171 368 96;
  • 64) 0,427 491 171 368 96 × 2 = 0 + 0,854 982 342 737 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0000 1101 0000 1001 1011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 91 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100