-0,000 282 005 915 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 6| = 0,000 282 005 915 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 2;
  • 2) 0,000 564 011 831 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 662 4;
  • 3) 0,001 128 023 662 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 324 8;
  • 4) 0,002 256 047 324 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 649 6;
  • 5) 0,004 512 094 649 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 299 2;
  • 6) 0,009 024 189 299 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 598 4;
  • 7) 0,018 048 378 598 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 196 8;
  • 8) 0,036 096 757 196 8 × 2 = 0 + 0,072 193 514 393 6;
  • 9) 0,072 193 514 393 6 × 2 = 0 + 0,144 387 028 787 2;
  • 10) 0,144 387 028 787 2 × 2 = 0 + 0,288 774 057 574 4;
  • 11) 0,288 774 057 574 4 × 2 = 0 + 0,577 548 115 148 8;
  • 12) 0,577 548 115 148 8 × 2 = 1 + 0,155 096 230 297 6;
  • 13) 0,155 096 230 297 6 × 2 = 0 + 0,310 192 460 595 2;
  • 14) 0,310 192 460 595 2 × 2 = 0 + 0,620 384 921 190 4;
  • 15) 0,620 384 921 190 4 × 2 = 1 + 0,240 769 842 380 8;
  • 16) 0,240 769 842 380 8 × 2 = 0 + 0,481 539 684 761 6;
  • 17) 0,481 539 684 761 6 × 2 = 0 + 0,963 079 369 523 2;
  • 18) 0,963 079 369 523 2 × 2 = 1 + 0,926 158 739 046 4;
  • 19) 0,926 158 739 046 4 × 2 = 1 + 0,852 317 478 092 8;
  • 20) 0,852 317 478 092 8 × 2 = 1 + 0,704 634 956 185 6;
  • 21) 0,704 634 956 185 6 × 2 = 1 + 0,409 269 912 371 2;
  • 22) 0,409 269 912 371 2 × 2 = 0 + 0,818 539 824 742 4;
  • 23) 0,818 539 824 742 4 × 2 = 1 + 0,637 079 649 484 8;
  • 24) 0,637 079 649 484 8 × 2 = 1 + 0,274 159 298 969 6;
  • 25) 0,274 159 298 969 6 × 2 = 0 + 0,548 318 597 939 2;
  • 26) 0,548 318 597 939 2 × 2 = 1 + 0,096 637 195 878 4;
  • 27) 0,096 637 195 878 4 × 2 = 0 + 0,193 274 391 756 8;
  • 28) 0,193 274 391 756 8 × 2 = 0 + 0,386 548 783 513 6;
  • 29) 0,386 548 783 513 6 × 2 = 0 + 0,773 097 567 027 2;
  • 30) 0,773 097 567 027 2 × 2 = 1 + 0,546 195 134 054 4;
  • 31) 0,546 195 134 054 4 × 2 = 1 + 0,092 390 268 108 8;
  • 32) 0,092 390 268 108 8 × 2 = 0 + 0,184 780 536 217 6;
  • 33) 0,184 780 536 217 6 × 2 = 0 + 0,369 561 072 435 2;
  • 34) 0,369 561 072 435 2 × 2 = 0 + 0,739 122 144 870 4;
  • 35) 0,739 122 144 870 4 × 2 = 1 + 0,478 244 289 740 8;
  • 36) 0,478 244 289 740 8 × 2 = 0 + 0,956 488 579 481 6;
  • 37) 0,956 488 579 481 6 × 2 = 1 + 0,912 977 158 963 2;
  • 38) 0,912 977 158 963 2 × 2 = 1 + 0,825 954 317 926 4;
  • 39) 0,825 954 317 926 4 × 2 = 1 + 0,651 908 635 852 8;
  • 40) 0,651 908 635 852 8 × 2 = 1 + 0,303 817 271 705 6;
  • 41) 0,303 817 271 705 6 × 2 = 0 + 0,607 634 543 411 2;
  • 42) 0,607 634 543 411 2 × 2 = 1 + 0,215 269 086 822 4;
  • 43) 0,215 269 086 822 4 × 2 = 0 + 0,430 538 173 644 8;
  • 44) 0,430 538 173 644 8 × 2 = 0 + 0,861 076 347 289 6;
  • 45) 0,861 076 347 289 6 × 2 = 1 + 0,722 152 694 579 2;
  • 46) 0,722 152 694 579 2 × 2 = 1 + 0,444 305 389 158 4;
  • 47) 0,444 305 389 158 4 × 2 = 0 + 0,888 610 778 316 8;
  • 48) 0,888 610 778 316 8 × 2 = 1 + 0,777 221 556 633 6;
  • 49) 0,777 221 556 633 6 × 2 = 1 + 0,554 443 113 267 2;
  • 50) 0,554 443 113 267 2 × 2 = 1 + 0,108 886 226 534 4;
  • 51) 0,108 886 226 534 4 × 2 = 0 + 0,217 772 453 068 8;
  • 52) 0,217 772 453 068 8 × 2 = 0 + 0,435 544 906 137 6;
  • 53) 0,435 544 906 137 6 × 2 = 0 + 0,871 089 812 275 2;
  • 54) 0,871 089 812 275 2 × 2 = 1 + 0,742 179 624 550 4;
  • 55) 0,742 179 624 550 4 × 2 = 1 + 0,484 359 249 100 8;
  • 56) 0,484 359 249 100 8 × 2 = 0 + 0,968 718 498 201 6;
  • 57) 0,968 718 498 201 6 × 2 = 1 + 0,937 436 996 403 2;
  • 58) 0,937 436 996 403 2 × 2 = 1 + 0,874 873 992 806 4;
  • 59) 0,874 873 992 806 4 × 2 = 1 + 0,749 747 985 612 8;
  • 60) 0,749 747 985 612 8 × 2 = 1 + 0,499 495 971 225 6;
  • 61) 0,499 495 971 225 6 × 2 = 0 + 0,998 991 942 451 2;
  • 62) 0,998 991 942 451 2 × 2 = 1 + 0,997 983 884 902 4;
  • 63) 0,997 983 884 902 4 × 2 = 1 + 0,995 967 769 804 8;
  • 64) 0,995 967 769 804 8 × 2 = 1 + 0,991 935 539 609 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1101 1100 0110 1111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 922 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100