-0,000 282 005 915 86 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 86(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 86(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 86| = 0,000 282 005 915 86


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 86.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 86 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 72;
  • 2) 0,000 564 011 831 72 × 2 = 0 + 0,001 128 023 663 44;
  • 3) 0,001 128 023 663 44 × 2 = 0 + 0,002 256 047 326 88;
  • 4) 0,002 256 047 326 88 × 2 = 0 + 0,004 512 094 653 76;
  • 5) 0,004 512 094 653 76 × 2 = 0 + 0,009 024 189 307 52;
  • 6) 0,009 024 189 307 52 × 2 = 0 + 0,018 048 378 615 04;
  • 7) 0,018 048 378 615 04 × 2 = 0 + 0,036 096 757 230 08;
  • 8) 0,036 096 757 230 08 × 2 = 0 + 0,072 193 514 460 16;
  • 9) 0,072 193 514 460 16 × 2 = 0 + 0,144 387 028 920 32;
  • 10) 0,144 387 028 920 32 × 2 = 0 + 0,288 774 057 840 64;
  • 11) 0,288 774 057 840 64 × 2 = 0 + 0,577 548 115 681 28;
  • 12) 0,577 548 115 681 28 × 2 = 1 + 0,155 096 231 362 56;
  • 13) 0,155 096 231 362 56 × 2 = 0 + 0,310 192 462 725 12;
  • 14) 0,310 192 462 725 12 × 2 = 0 + 0,620 384 925 450 24;
  • 15) 0,620 384 925 450 24 × 2 = 1 + 0,240 769 850 900 48;
  • 16) 0,240 769 850 900 48 × 2 = 0 + 0,481 539 701 800 96;
  • 17) 0,481 539 701 800 96 × 2 = 0 + 0,963 079 403 601 92;
  • 18) 0,963 079 403 601 92 × 2 = 1 + 0,926 158 807 203 84;
  • 19) 0,926 158 807 203 84 × 2 = 1 + 0,852 317 614 407 68;
  • 20) 0,852 317 614 407 68 × 2 = 1 + 0,704 635 228 815 36;
  • 21) 0,704 635 228 815 36 × 2 = 1 + 0,409 270 457 630 72;
  • 22) 0,409 270 457 630 72 × 2 = 0 + 0,818 540 915 261 44;
  • 23) 0,818 540 915 261 44 × 2 = 1 + 0,637 081 830 522 88;
  • 24) 0,637 081 830 522 88 × 2 = 1 + 0,274 163 661 045 76;
  • 25) 0,274 163 661 045 76 × 2 = 0 + 0,548 327 322 091 52;
  • 26) 0,548 327 322 091 52 × 2 = 1 + 0,096 654 644 183 04;
  • 27) 0,096 654 644 183 04 × 2 = 0 + 0,193 309 288 366 08;
  • 28) 0,193 309 288 366 08 × 2 = 0 + 0,386 618 576 732 16;
  • 29) 0,386 618 576 732 16 × 2 = 0 + 0,773 237 153 464 32;
  • 30) 0,773 237 153 464 32 × 2 = 1 + 0,546 474 306 928 64;
  • 31) 0,546 474 306 928 64 × 2 = 1 + 0,092 948 613 857 28;
  • 32) 0,092 948 613 857 28 × 2 = 0 + 0,185 897 227 714 56;
  • 33) 0,185 897 227 714 56 × 2 = 0 + 0,371 794 455 429 12;
  • 34) 0,371 794 455 429 12 × 2 = 0 + 0,743 588 910 858 24;
  • 35) 0,743 588 910 858 24 × 2 = 1 + 0,487 177 821 716 48;
  • 36) 0,487 177 821 716 48 × 2 = 0 + 0,974 355 643 432 96;
  • 37) 0,974 355 643 432 96 × 2 = 1 + 0,948 711 286 865 92;
  • 38) 0,948 711 286 865 92 × 2 = 1 + 0,897 422 573 731 84;
  • 39) 0,897 422 573 731 84 × 2 = 1 + 0,794 845 147 463 68;
  • 40) 0,794 845 147 463 68 × 2 = 1 + 0,589 690 294 927 36;
  • 41) 0,589 690 294 927 36 × 2 = 1 + 0,179 380 589 854 72;
  • 42) 0,179 380 589 854 72 × 2 = 0 + 0,358 761 179 709 44;
  • 43) 0,358 761 179 709 44 × 2 = 0 + 0,717 522 359 418 88;
  • 44) 0,717 522 359 418 88 × 2 = 1 + 0,435 044 718 837 76;
  • 45) 0,435 044 718 837 76 × 2 = 0 + 0,870 089 437 675 52;
  • 46) 0,870 089 437 675 52 × 2 = 1 + 0,740 178 875 351 04;
  • 47) 0,740 178 875 351 04 × 2 = 1 + 0,480 357 750 702 08;
  • 48) 0,480 357 750 702 08 × 2 = 0 + 0,960 715 501 404 16;
  • 49) 0,960 715 501 404 16 × 2 = 1 + 0,921 431 002 808 32;
  • 50) 0,921 431 002 808 32 × 2 = 1 + 0,842 862 005 616 64;
  • 51) 0,842 862 005 616 64 × 2 = 1 + 0,685 724 011 233 28;
  • 52) 0,685 724 011 233 28 × 2 = 1 + 0,371 448 022 466 56;
  • 53) 0,371 448 022 466 56 × 2 = 0 + 0,742 896 044 933 12;
  • 54) 0,742 896 044 933 12 × 2 = 1 + 0,485 792 089 866 24;
  • 55) 0,485 792 089 866 24 × 2 = 0 + 0,971 584 179 732 48;
  • 56) 0,971 584 179 732 48 × 2 = 1 + 0,943 168 359 464 96;
  • 57) 0,943 168 359 464 96 × 2 = 1 + 0,886 336 718 929 92;
  • 58) 0,886 336 718 929 92 × 2 = 1 + 0,772 673 437 859 84;
  • 59) 0,772 673 437 859 84 × 2 = 1 + 0,545 346 875 719 68;
  • 60) 0,545 346 875 719 68 × 2 = 1 + 0,090 693 751 439 36;
  • 61) 0,090 693 751 439 36 × 2 = 0 + 0,181 387 502 878 72;
  • 62) 0,181 387 502 878 72 × 2 = 0 + 0,362 775 005 757 44;
  • 63) 0,362 775 005 757 44 × 2 = 0 + 0,725 550 011 514 88;
  • 64) 0,725 550 011 514 88 × 2 = 1 + 0,451 100 023 029 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 86 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1001 0110 1111 0101 1111 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 68 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100