-0,000 282 005 916 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 2| = 0,000 282 005 916 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 4;
  • 2) 0,000 564 011 832 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 664 8;
  • 3) 0,001 128 023 664 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 329 6;
  • 4) 0,002 256 047 329 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 659 2;
  • 5) 0,004 512 094 659 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 318 4;
  • 6) 0,009 024 189 318 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 636 8;
  • 7) 0,018 048 378 636 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 273 6;
  • 8) 0,036 096 757 273 6 × 2 = 0 + 0,072 193 514 547 2;
  • 9) 0,072 193 514 547 2 × 2 = 0 + 0,144 387 029 094 4;
  • 10) 0,144 387 029 094 4 × 2 = 0 + 0,288 774 058 188 8;
  • 11) 0,288 774 058 188 8 × 2 = 0 + 0,577 548 116 377 6;
  • 12) 0,577 548 116 377 6 × 2 = 1 + 0,155 096 232 755 2;
  • 13) 0,155 096 232 755 2 × 2 = 0 + 0,310 192 465 510 4;
  • 14) 0,310 192 465 510 4 × 2 = 0 + 0,620 384 931 020 8;
  • 15) 0,620 384 931 020 8 × 2 = 1 + 0,240 769 862 041 6;
  • 16) 0,240 769 862 041 6 × 2 = 0 + 0,481 539 724 083 2;
  • 17) 0,481 539 724 083 2 × 2 = 0 + 0,963 079 448 166 4;
  • 18) 0,963 079 448 166 4 × 2 = 1 + 0,926 158 896 332 8;
  • 19) 0,926 158 896 332 8 × 2 = 1 + 0,852 317 792 665 6;
  • 20) 0,852 317 792 665 6 × 2 = 1 + 0,704 635 585 331 2;
  • 21) 0,704 635 585 331 2 × 2 = 1 + 0,409 271 170 662 4;
  • 22) 0,409 271 170 662 4 × 2 = 0 + 0,818 542 341 324 8;
  • 23) 0,818 542 341 324 8 × 2 = 1 + 0,637 084 682 649 6;
  • 24) 0,637 084 682 649 6 × 2 = 1 + 0,274 169 365 299 2;
  • 25) 0,274 169 365 299 2 × 2 = 0 + 0,548 338 730 598 4;
  • 26) 0,548 338 730 598 4 × 2 = 1 + 0,096 677 461 196 8;
  • 27) 0,096 677 461 196 8 × 2 = 0 + 0,193 354 922 393 6;
  • 28) 0,193 354 922 393 6 × 2 = 0 + 0,386 709 844 787 2;
  • 29) 0,386 709 844 787 2 × 2 = 0 + 0,773 419 689 574 4;
  • 30) 0,773 419 689 574 4 × 2 = 1 + 0,546 839 379 148 8;
  • 31) 0,546 839 379 148 8 × 2 = 1 + 0,093 678 758 297 6;
  • 32) 0,093 678 758 297 6 × 2 = 0 + 0,187 357 516 595 2;
  • 33) 0,187 357 516 595 2 × 2 = 0 + 0,374 715 033 190 4;
  • 34) 0,374 715 033 190 4 × 2 = 0 + 0,749 430 066 380 8;
  • 35) 0,749 430 066 380 8 × 2 = 1 + 0,498 860 132 761 6;
  • 36) 0,498 860 132 761 6 × 2 = 0 + 0,997 720 265 523 2;
  • 37) 0,997 720 265 523 2 × 2 = 1 + 0,995 440 531 046 4;
  • 38) 0,995 440 531 046 4 × 2 = 1 + 0,990 881 062 092 8;
  • 39) 0,990 881 062 092 8 × 2 = 1 + 0,981 762 124 185 6;
  • 40) 0,981 762 124 185 6 × 2 = 1 + 0,963 524 248 371 2;
  • 41) 0,963 524 248 371 2 × 2 = 1 + 0,927 048 496 742 4;
  • 42) 0,927 048 496 742 4 × 2 = 1 + 0,854 096 993 484 8;
  • 43) 0,854 096 993 484 8 × 2 = 1 + 0,708 193 986 969 6;
  • 44) 0,708 193 986 969 6 × 2 = 1 + 0,416 387 973 939 2;
  • 45) 0,416 387 973 939 2 × 2 = 0 + 0,832 775 947 878 4;
  • 46) 0,832 775 947 878 4 × 2 = 1 + 0,665 551 895 756 8;
  • 47) 0,665 551 895 756 8 × 2 = 1 + 0,331 103 791 513 6;
  • 48) 0,331 103 791 513 6 × 2 = 0 + 0,662 207 583 027 2;
  • 49) 0,662 207 583 027 2 × 2 = 1 + 0,324 415 166 054 4;
  • 50) 0,324 415 166 054 4 × 2 = 0 + 0,648 830 332 108 8;
  • 51) 0,648 830 332 108 8 × 2 = 1 + 0,297 660 664 217 6;
  • 52) 0,297 660 664 217 6 × 2 = 0 + 0,595 321 328 435 2;
  • 53) 0,595 321 328 435 2 × 2 = 1 + 0,190 642 656 870 4;
  • 54) 0,190 642 656 870 4 × 2 = 0 + 0,381 285 313 740 8;
  • 55) 0,381 285 313 740 8 × 2 = 0 + 0,762 570 627 481 6;
  • 56) 0,762 570 627 481 6 × 2 = 1 + 0,525 141 254 963 2;
  • 57) 0,525 141 254 963 2 × 2 = 1 + 0,050 282 509 926 4;
  • 58) 0,050 282 509 926 4 × 2 = 0 + 0,100 565 019 852 8;
  • 59) 0,100 565 019 852 8 × 2 = 0 + 0,201 130 039 705 6;
  • 60) 0,201 130 039 705 6 × 2 = 0 + 0,402 260 079 411 2;
  • 61) 0,402 260 079 411 2 × 2 = 0 + 0,804 520 158 822 4;
  • 62) 0,804 520 158 822 4 × 2 = 1 + 0,609 040 317 644 8;
  • 63) 0,609 040 317 644 8 × 2 = 1 + 0,218 080 635 289 6;
  • 64) 0,218 080 635 289 6 × 2 = 0 + 0,436 161 270 579 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0110 1010 1001 1000 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100