-0,000 282 005 916 23 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 23(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 23(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 23| = 0,000 282 005 916 23


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 23.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 23 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 46;
  • 2) 0,000 564 011 832 46 × 2 = 0 + 0,001 128 023 664 92;
  • 3) 0,001 128 023 664 92 × 2 = 0 + 0,002 256 047 329 84;
  • 4) 0,002 256 047 329 84 × 2 = 0 + 0,004 512 094 659 68;
  • 5) 0,004 512 094 659 68 × 2 = 0 + 0,009 024 189 319 36;
  • 6) 0,009 024 189 319 36 × 2 = 0 + 0,018 048 378 638 72;
  • 7) 0,018 048 378 638 72 × 2 = 0 + 0,036 096 757 277 44;
  • 8) 0,036 096 757 277 44 × 2 = 0 + 0,072 193 514 554 88;
  • 9) 0,072 193 514 554 88 × 2 = 0 + 0,144 387 029 109 76;
  • 10) 0,144 387 029 109 76 × 2 = 0 + 0,288 774 058 219 52;
  • 11) 0,288 774 058 219 52 × 2 = 0 + 0,577 548 116 439 04;
  • 12) 0,577 548 116 439 04 × 2 = 1 + 0,155 096 232 878 08;
  • 13) 0,155 096 232 878 08 × 2 = 0 + 0,310 192 465 756 16;
  • 14) 0,310 192 465 756 16 × 2 = 0 + 0,620 384 931 512 32;
  • 15) 0,620 384 931 512 32 × 2 = 1 + 0,240 769 863 024 64;
  • 16) 0,240 769 863 024 64 × 2 = 0 + 0,481 539 726 049 28;
  • 17) 0,481 539 726 049 28 × 2 = 0 + 0,963 079 452 098 56;
  • 18) 0,963 079 452 098 56 × 2 = 1 + 0,926 158 904 197 12;
  • 19) 0,926 158 904 197 12 × 2 = 1 + 0,852 317 808 394 24;
  • 20) 0,852 317 808 394 24 × 2 = 1 + 0,704 635 616 788 48;
  • 21) 0,704 635 616 788 48 × 2 = 1 + 0,409 271 233 576 96;
  • 22) 0,409 271 233 576 96 × 2 = 0 + 0,818 542 467 153 92;
  • 23) 0,818 542 467 153 92 × 2 = 1 + 0,637 084 934 307 84;
  • 24) 0,637 084 934 307 84 × 2 = 1 + 0,274 169 868 615 68;
  • 25) 0,274 169 868 615 68 × 2 = 0 + 0,548 339 737 231 36;
  • 26) 0,548 339 737 231 36 × 2 = 1 + 0,096 679 474 462 72;
  • 27) 0,096 679 474 462 72 × 2 = 0 + 0,193 358 948 925 44;
  • 28) 0,193 358 948 925 44 × 2 = 0 + 0,386 717 897 850 88;
  • 29) 0,386 717 897 850 88 × 2 = 0 + 0,773 435 795 701 76;
  • 30) 0,773 435 795 701 76 × 2 = 1 + 0,546 871 591 403 52;
  • 31) 0,546 871 591 403 52 × 2 = 1 + 0,093 743 182 807 04;
  • 32) 0,093 743 182 807 04 × 2 = 0 + 0,187 486 365 614 08;
  • 33) 0,187 486 365 614 08 × 2 = 0 + 0,374 972 731 228 16;
  • 34) 0,374 972 731 228 16 × 2 = 0 + 0,749 945 462 456 32;
  • 35) 0,749 945 462 456 32 × 2 = 1 + 0,499 890 924 912 64;
  • 36) 0,499 890 924 912 64 × 2 = 0 + 0,999 781 849 825 28;
  • 37) 0,999 781 849 825 28 × 2 = 1 + 0,999 563 699 650 56;
  • 38) 0,999 563 699 650 56 × 2 = 1 + 0,999 127 399 301 12;
  • 39) 0,999 127 399 301 12 × 2 = 1 + 0,998 254 798 602 24;
  • 40) 0,998 254 798 602 24 × 2 = 1 + 0,996 509 597 204 48;
  • 41) 0,996 509 597 204 48 × 2 = 1 + 0,993 019 194 408 96;
  • 42) 0,993 019 194 408 96 × 2 = 1 + 0,986 038 388 817 92;
  • 43) 0,986 038 388 817 92 × 2 = 1 + 0,972 076 777 635 84;
  • 44) 0,972 076 777 635 84 × 2 = 1 + 0,944 153 555 271 68;
  • 45) 0,944 153 555 271 68 × 2 = 1 + 0,888 307 110 543 36;
  • 46) 0,888 307 110 543 36 × 2 = 1 + 0,776 614 221 086 72;
  • 47) 0,776 614 221 086 72 × 2 = 1 + 0,553 228 442 173 44;
  • 48) 0,553 228 442 173 44 × 2 = 1 + 0,106 456 884 346 88;
  • 49) 0,106 456 884 346 88 × 2 = 0 + 0,212 913 768 693 76;
  • 50) 0,212 913 768 693 76 × 2 = 0 + 0,425 827 537 387 52;
  • 51) 0,425 827 537 387 52 × 2 = 0 + 0,851 655 074 775 04;
  • 52) 0,851 655 074 775 04 × 2 = 1 + 0,703 310 149 550 08;
  • 53) 0,703 310 149 550 08 × 2 = 1 + 0,406 620 299 100 16;
  • 54) 0,406 620 299 100 16 × 2 = 0 + 0,813 240 598 200 32;
  • 55) 0,813 240 598 200 32 × 2 = 1 + 0,626 481 196 400 64;
  • 56) 0,626 481 196 400 64 × 2 = 1 + 0,252 962 392 801 28;
  • 57) 0,252 962 392 801 28 × 2 = 0 + 0,505 924 785 602 56;
  • 58) 0,505 924 785 602 56 × 2 = 1 + 0,011 849 571 205 12;
  • 59) 0,011 849 571 205 12 × 2 = 0 + 0,023 699 142 410 24;
  • 60) 0,023 699 142 410 24 × 2 = 0 + 0,047 398 284 820 48;
  • 61) 0,047 398 284 820 48 × 2 = 0 + 0,094 796 569 640 96;
  • 62) 0,094 796 569 640 96 × 2 = 0 + 0,189 593 139 281 92;
  • 63) 0,189 593 139 281 92 × 2 = 0 + 0,379 186 278 563 84;
  • 64) 0,379 186 278 563 84 × 2 = 0 + 0,758 372 557 127 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 23 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 1111 0001 1011 0100 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 16 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100