-0,000 282 005 916 38 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 38(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 38(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 38| = 0,000 282 005 916 38


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 38.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 38 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 76;
  • 2) 0,000 564 011 832 76 × 2 = 0 + 0,001 128 023 665 52;
  • 3) 0,001 128 023 665 52 × 2 = 0 + 0,002 256 047 331 04;
  • 4) 0,002 256 047 331 04 × 2 = 0 + 0,004 512 094 662 08;
  • 5) 0,004 512 094 662 08 × 2 = 0 + 0,009 024 189 324 16;
  • 6) 0,009 024 189 324 16 × 2 = 0 + 0,018 048 378 648 32;
  • 7) 0,018 048 378 648 32 × 2 = 0 + 0,036 096 757 296 64;
  • 8) 0,036 096 757 296 64 × 2 = 0 + 0,072 193 514 593 28;
  • 9) 0,072 193 514 593 28 × 2 = 0 + 0,144 387 029 186 56;
  • 10) 0,144 387 029 186 56 × 2 = 0 + 0,288 774 058 373 12;
  • 11) 0,288 774 058 373 12 × 2 = 0 + 0,577 548 116 746 24;
  • 12) 0,577 548 116 746 24 × 2 = 1 + 0,155 096 233 492 48;
  • 13) 0,155 096 233 492 48 × 2 = 0 + 0,310 192 466 984 96;
  • 14) 0,310 192 466 984 96 × 2 = 0 + 0,620 384 933 969 92;
  • 15) 0,620 384 933 969 92 × 2 = 1 + 0,240 769 867 939 84;
  • 16) 0,240 769 867 939 84 × 2 = 0 + 0,481 539 735 879 68;
  • 17) 0,481 539 735 879 68 × 2 = 0 + 0,963 079 471 759 36;
  • 18) 0,963 079 471 759 36 × 2 = 1 + 0,926 158 943 518 72;
  • 19) 0,926 158 943 518 72 × 2 = 1 + 0,852 317 887 037 44;
  • 20) 0,852 317 887 037 44 × 2 = 1 + 0,704 635 774 074 88;
  • 21) 0,704 635 774 074 88 × 2 = 1 + 0,409 271 548 149 76;
  • 22) 0,409 271 548 149 76 × 2 = 0 + 0,818 543 096 299 52;
  • 23) 0,818 543 096 299 52 × 2 = 1 + 0,637 086 192 599 04;
  • 24) 0,637 086 192 599 04 × 2 = 1 + 0,274 172 385 198 08;
  • 25) 0,274 172 385 198 08 × 2 = 0 + 0,548 344 770 396 16;
  • 26) 0,548 344 770 396 16 × 2 = 1 + 0,096 689 540 792 32;
  • 27) 0,096 689 540 792 32 × 2 = 0 + 0,193 379 081 584 64;
  • 28) 0,193 379 081 584 64 × 2 = 0 + 0,386 758 163 169 28;
  • 29) 0,386 758 163 169 28 × 2 = 0 + 0,773 516 326 338 56;
  • 30) 0,773 516 326 338 56 × 2 = 1 + 0,547 032 652 677 12;
  • 31) 0,547 032 652 677 12 × 2 = 1 + 0,094 065 305 354 24;
  • 32) 0,094 065 305 354 24 × 2 = 0 + 0,188 130 610 708 48;
  • 33) 0,188 130 610 708 48 × 2 = 0 + 0,376 261 221 416 96;
  • 34) 0,376 261 221 416 96 × 2 = 0 + 0,752 522 442 833 92;
  • 35) 0,752 522 442 833 92 × 2 = 1 + 0,505 044 885 667 84;
  • 36) 0,505 044 885 667 84 × 2 = 1 + 0,010 089 771 335 68;
  • 37) 0,010 089 771 335 68 × 2 = 0 + 0,020 179 542 671 36;
  • 38) 0,020 179 542 671 36 × 2 = 0 + 0,040 359 085 342 72;
  • 39) 0,040 359 085 342 72 × 2 = 0 + 0,080 718 170 685 44;
  • 40) 0,080 718 170 685 44 × 2 = 0 + 0,161 436 341 370 88;
  • 41) 0,161 436 341 370 88 × 2 = 0 + 0,322 872 682 741 76;
  • 42) 0,322 872 682 741 76 × 2 = 0 + 0,645 745 365 483 52;
  • 43) 0,645 745 365 483 52 × 2 = 1 + 0,291 490 730 967 04;
  • 44) 0,291 490 730 967 04 × 2 = 0 + 0,582 981 461 934 08;
  • 45) 0,582 981 461 934 08 × 2 = 1 + 0,165 962 923 868 16;
  • 46) 0,165 962 923 868 16 × 2 = 0 + 0,331 925 847 736 32;
  • 47) 0,331 925 847 736 32 × 2 = 0 + 0,663 851 695 472 64;
  • 48) 0,663 851 695 472 64 × 2 = 1 + 0,327 703 390 945 28;
  • 49) 0,327 703 390 945 28 × 2 = 0 + 0,655 406 781 890 56;
  • 50) 0,655 406 781 890 56 × 2 = 1 + 0,310 813 563 781 12;
  • 51) 0,310 813 563 781 12 × 2 = 0 + 0,621 627 127 562 24;
  • 52) 0,621 627 127 562 24 × 2 = 1 + 0,243 254 255 124 48;
  • 53) 0,243 254 255 124 48 × 2 = 0 + 0,486 508 510 248 96;
  • 54) 0,486 508 510 248 96 × 2 = 0 + 0,973 017 020 497 92;
  • 55) 0,973 017 020 497 92 × 2 = 1 + 0,946 034 040 995 84;
  • 56) 0,946 034 040 995 84 × 2 = 1 + 0,892 068 081 991 68;
  • 57) 0,892 068 081 991 68 × 2 = 1 + 0,784 136 163 983 36;
  • 58) 0,784 136 163 983 36 × 2 = 1 + 0,568 272 327 966 72;
  • 59) 0,568 272 327 966 72 × 2 = 1 + 0,136 544 655 933 44;
  • 60) 0,136 544 655 933 44 × 2 = 0 + 0,273 089 311 866 88;
  • 61) 0,273 089 311 866 88 × 2 = 0 + 0,546 178 623 733 76;
  • 62) 0,546 178 623 733 76 × 2 = 1 + 0,092 357 247 467 52;
  • 63) 0,092 357 247 467 52 × 2 = 0 + 0,184 714 494 935 04;
  • 64) 0,184 714 494 935 04 × 2 = 0 + 0,369 428 989 870 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 38 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1001 0101 0011 1110 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 03 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100